Номер 39.34, страница 197 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.34. В арифметической прогрессии $(a_n)$ известно, что $a_1 = 8$, $d = 3$. Найдите число членов этой прогрессии, являющихся двузначными числами.

По условию задачи дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой первый член $a_1 = 8$ и разность $d = 3$.

Общая формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1)d$.

Подставим в эту формулу известные значения $a_1$ и $d$:

$a_n = 8 + (n - 1) \cdot 3$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_n = 8 + 3n - 3 = 3n + 5$.

Нам необходимо найти количество членов прогрессии, которые являются двузначными числами. Двузначные числа — это натуральные числа от 10 до 99 включительно. Таким образом, искомые члены прогрессии должны удовлетворять двойному неравенству:

$10 \le a_n \le 99$.

Подставим в неравенство полученное выражение для $a_n$:

$10 \le 3n + 5 \le 99$.

Решим это двойное неравенство относительно $n$. Для этого сначала вычтем 5 из всех его частей:

$10 - 5 \le 3n + 5 - 5 \le 99 - 5$

$5 \le 3n \le 94$.

Теперь разделим все части неравенства на 3:

$\frac{5}{3} \le n \le \frac{94}{3}$.

Представим дроби в виде смешанных чисел, чтобы определить границы для $n$:

$1\frac{2}{3} \le n \le 31\frac{1}{3}$.

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, то из полученного неравенства следует, что $n$ может принимать целые значения от 2 до 31 включительно (так как $n \ge 1\frac{2}{3}$ означает, что наименьшее целое $n$ это 2, а $n \le 31\frac{1}{3}$ означает, что наибольшее целое $n$ это 31).

Чтобы найти количество таких целых чисел, нужно из наибольшего значения вычесть наименьшее и прибавить единицу:

Количество членов = $31 - 2 + 1 = 30$.

Ответ: 30