Номер 39.28, страница 196 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.28. В арифметической прогрессии $(a_n)$ известно, что $S_{10} = 155$, $a_1 \cdot a_{10} = 58$. Найдите четвертый член данной прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$. По условию задачи, сумма первых десяти членов $S_{10} = 155$, а произведение первого и десятого членов $a_1 \cdot a_{10} = 58$.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим известные данные для $n=10$:

$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = 155$

Из этого уравнения выразим сумму первого и десятого членов:

$(a_1 + a_{10}) \cdot 5 = 155$

$a_1 + a_{10} = \frac{155}{5}$

$a_1 + a_{10} = 31$

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $a_1$ и $a_{10}$:

$ \begin{cases} a_1 + a_{10} = 31 \\ a_1 \cdot a_{10} = 58 \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, числа $a_1$ и $a_{10}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a_1+a_{10})t + (a_1 \cdot a_{10}) = 0$.

Подставим значения суммы и произведения:

$t^2 - 31t + 58 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 58 = 961 - 232 = 729$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$.

Найдем корни:

$t_1 = \frac{31 - 27}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{31 + 27}{2} = \frac{58}{2} = 29$

Таким образом, для первого и десятого членов прогрессии есть два возможных набора значений:

1. $a_1 = 2$ и $a_{10} = 29$.

2. $a_1 = 29$ и $a_{10} = 2$.

Найдем искомый четвертый член $a_4$ для каждого из этих двух случаев.

Случай 1

Пусть $a_1 = 2$ и $a_{10} = 29$. Найдем разность прогрессии $d$ из формулы $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

$29 = 2 + 9d$

$9d = 27$

$d = 3$

Теперь найдем четвертый член $a_4$:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d = 2 + 3 \cdot 3 = 2 + 9 = 11$.

Случай 2

Пусть $a_1 = 29$ и $a_{10} = 2$. Найдем разность прогрессии $d$:

$a_{10} = a_1 + 9d$

$2 = 29 + 9d$

$9d = -27$

$d = -3$

Теперь найдем четвертый член $a_4$:

$a_4 = a_1 + 3d = 29 + 3 \cdot (-3) = 29 - 9 = 20$.

Оба найденных значения являются решением задачи, так как существуют две арифметические прогрессии, удовлетворяющие исходным условиям.

Ответ: 11 или 20.