Номер 39.43, страница 198 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.43. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 4 дают остаток 1.

Двузначные числа, которые при делении на 4 дают остаток 1, образуют арифметическую прогрессию. Общий вид таких чисел можно записать формулой $a_k = 4k + 1$, где $k$ — целое число.

Сначала найдем первый член этой прогрессии ($a_1$), который является двузначным числом (т.е. $\ge 10$). Для этого решим неравенство:

$4k + 1 \ge 10$

$4k \ge 9$

$k \ge \frac{9}{4}$

$k \ge 2.25$

Поскольку $k$ — целое число, наименьшее подходящее значение $k = 3$. Таким образом, первый член прогрессии: $a_1 = 4 \cdot 3 + 1 = 13$.

Теперь найдем последний член прогрессии ($a_n$), который является двузначным числом (т.е. $\le 99$).

$4k + 1 \le 99$

$4k \le 98$

$k \le \frac{98}{4}$

$k \le 24.5$

Наибольшее подходящее целое значение $k = 24$. Таким образом, последний член прогрессии: $a_n = 4 \cdot 24 + 1 = 97$.

Мы получили арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 13$, последним членом $a_n = 97$ и разностью $d = 4$.

Для нахождения суммы нужно определить количество членов $n$ в этой прогрессии. Используем формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$97 = 13 + (n-1) \cdot 4$

$84 = (n-1) \cdot 4$

$n-1 = \frac{84}{4} = 21$

$n = 22$

Всего в прогрессии 22 члена. Теперь вычислим их сумму по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

$S_{22} = \frac{13 + 97}{2} \cdot 22 = \frac{110}{2} \cdot 22 = 55 \cdot 22 = 1210$.

Ответ: 1210