Номер 40.9, страница 200 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.9. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если известно, что $b_5 = 6, b_6 = -36$.

Для того чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии ($S_5$), необходимо знать ее первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$). Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

1. Найдем знаменатель прогрессии $q$.

Знаменатель геометрической прогрессии — это отношение любого члена прогрессии к предыдущему. Используя данные нам $b_5$ и $b_6$, мы можем найти $q$:

$q = \frac{b_6}{b_5} = \frac{-36}{6} = -6$

2. Найдем первый член прогрессии $b_1$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Мы можем использовать эту формулу для пятого члена ($n=5$), так как его значение нам известно:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения $b_5 = 6$ и $q = -6$:

$6 = b_1 \cdot (-6)^4$

$6 = b_1 \cdot 1296$

Отсюда выразим $b_1$:

$b_1 = \frac{6}{1296} = \frac{1}{216}$

3. Вычислим сумму первых пяти членов $S_5$.

Теперь у нас есть все необходимые данные: $b_1 = \frac{1}{216}$, $q = -6$, $n = 5$. Подставим их в формулу суммы:

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{\frac{1}{216}((-6)^5 - 1)}{-6 - 1}$

Вычислим значение $(-6)^5$:

$(-6)^5 = -7776$

Теперь подставим это в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{\frac{1}{216}(-7776 - 1)}{-7} = \frac{\frac{1}{216}(-7777)}{-7}$

$S_5 = \frac{-7777}{216 \cdot (-7)}$

Сократим числитель и знаменатель на -7:

$S_5 = \frac{1111}{216}$

Ответ: $S_5 = \frac{1111}{216}$