Номер 40.16, страница 200 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.16. В геометрической прогрессии $(b_n)$ $b_5 = 6$, $b_8 = \frac{16}{9}$.

Найдите номер члена, равного $\frac{64}{81}$.

Пусть $(b_n)$ — данная геометрическая прогрессия, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Из этой формулы следует, что для любых двух членов прогрессии $b_k$ и $b_m$ справедливо соотношение: $b_k = b_m \cdot q^{k-m}$.

1. Найдём знаменатель прогрессии $q$.
Мы знаем, что $b_5 = 6$ и $b_8 = \frac{16}{9}$. Используя формулу, связывающую эти два члена, получим: $b_8 = b_5 \cdot q^{8-5}$ $b_8 = b_5 \cdot q^3$ Подставим известные значения в формулу: $\frac{16}{9} = 6 \cdot q^3$ Теперь выразим $q^3$: $q^3 = \frac{16}{9 \cdot 6} = \frac{16}{54}$ Сократим полученную дробь на 2: $q^3 = \frac{8}{27}$ Чтобы найти $q$, извлечём кубический корень из обеих частей уравнения: $q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$

2. Найдём номер искомого члена.
Нам нужно найти номер $n$ такого члена прогрессии $b_n$, что $b_n = \frac{64}{81}$. Снова воспользуемся формулой, связывающей члены прогрессии, на этот раз $b_n$ и $b_5$: $b_n = b_5 \cdot q^{n-5}$ Подставим известные значения: $b_n = \frac{64}{81}$, $b_5 = 6$ и $q = \frac{2}{3}$: $\frac{64}{81} = 6 \cdot (\frac{2}{3})^{n-5}$ Выразим из этого уравнения степень $(\frac{2}{3})^{n-5}$: $(\frac{2}{3})^{n-5} = \frac{64}{81 \cdot 6} = \frac{64}{486}$ Сократим дробь в правой части, разделив числитель и знаменатель на 2: $(\frac{2}{3})^{n-5} = \frac{32}{243}$ Заметим, что $32 = 2^5$ и $243 = 3^5$. Таким образом, правую часть можно представить в виде степени: $\frac{32}{243} = \frac{2^5}{3^5} = (\frac{2}{3})^5$ Теперь уравнение имеет вид: $(\frac{2}{3})^{n-5} = (\frac{2}{3})^5$ Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны: $n - 5 = 5$ $n = 5 + 5$ $n = 10$

Ответ: 10.