Номер 40.24, страница 201 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.24*. В геометрической прогрессии $(b_n)$ 10 членов, их сумма равна 42,625. Сумма членов с четными номерами в два раза меньше суммы членов с нечетными номерами. Найдите пятый член этой прогрессии.

Пусть $S_{10}$ — сумма первых десяти членов геометрической прогрессии ($b_n$), $b_1$ — её первый член, а $q$ — её знаменатель. По условию, $S_{10} = 42,625$.

Обозначим сумму членов с нечетными номерами как $S_{неч}$ и сумму членов с четными номерами как $S_{чет}$.

$S_{неч} = b_1 + b_3 + b_5 + b_7 + b_9$

$S_{чет} = b_2 + b_4 + b_6 + b_8 + b_{10}$

Общая сумма всех членов прогрессии равна сумме этих двух частей:$S_{10} = S_{неч} + S_{чет}$.

Из условия задачи известно, что сумма членов с четными номерами в два раза меньше суммы членов с нечетными номерами:$S_{чет} = \frac{1}{2} S_{неч}$, что эквивалентно $S_{неч} = 2S_{чет}$.

Подставим это соотношение в формулу для $S_{10}$:$S_{10} = 2S_{чет} + S_{чет} = 3S_{чет}$.

Теперь установим связь между $S_{неч}$, $S_{чет}$ и знаменателем прогрессии $q$. Вынесем $q$ за скобки в выражении для $S_{чет}$:$S_{чет} = b_1q + b_1q^3 + b_1q^5 + b_1q^7 + b_1q^9 = q(b_1 + b_1q^2 + b_1q^4 + b_1q^6 + b_1q^8)$. Выражение в скобках является суммой членов с нечетными номерами, то есть $S_{неч}$. Следовательно, $S_{чет} = q \cdot S_{неч}$.

Из этого соотношения можно найти знаменатель $q$:$q = \frac{S_{чет}}{S_{неч}}$. Поскольку из условия $S_{неч} = 2S_{чет}$, получаем:$q = \frac{S_{чет}}{2S_{чет}} = \frac{1}{2} = 0,5$ (это возможно, так как $S_{чет}$ не может быть равно нулю, иначе и $S_{10}$ было бы равно нулю). Итак, знаменатель прогрессии $q = 0,5$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу суммы $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$. Подставим известные значения для $n=10$:$S_{10} = \frac{b_1(1-q^{10})}{1-q} = \frac{b_1(1 - (0,5)^{10})}{1 - 0,5}$.$42,625 = \frac{b_1(1 - \frac{1}{1024})}{0,5} = \frac{b_1(\frac{1023}{1024})}{0,5} = 2 \cdot b_1 \cdot \frac{1023}{1024} = b_1 \cdot \frac{1023}{512}$.

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $42,625$ в виде обыкновенной:$42,625 = 42 \frac{625}{1000} = 42 \frac{5}{8} = \frac{42 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{341}{8}$.

Теперь решим уравнение относительно $b_1$:$\frac{341}{8} = b_1 \cdot \frac{1023}{512}$.$b_1 = \frac{341}{8} \cdot \frac{512}{1023}$. Зная, что $1023 = 3 \cdot 341$ и $512 = 8 \cdot 64$, получаем:$b_1 = \frac{341}{8} \cdot \frac{8 \cdot 64}{3 \cdot 341} = \frac{64}{3}$.

Наконец, вычислим пятый член прогрессии $b_5$ по формуле $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.$b_5 = \frac{64}{3} \cdot (0,5)^4 = \frac{64}{3} \cdot (\frac{1}{2})^4 = \frac{64}{3} \cdot \frac{1}{16} = \frac{4 \cdot 16}{3 \cdot 16} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.