Номер 40.28, страница 202 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.28*. Найдите первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если $S = 6$, $b_1 + b_2 + b_3 = 8.25$.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, $|q| < 1$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Сумма первых трех членов прогрессии $S_3$ равна:$S_3 = b_1 + b_2 + b_3$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, можем записать:$b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1 + q + q^2)$

Согласно условию задачи, у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:$\begin{cases}S = 6 \\b_1 + b_2 + b_3 = 8,25\end{cases}$

Подставим формулы в систему:$\begin{cases}\frac{b_1}{1 - q} = 6 \\b_1(1 + q + q^2) = 8,25\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$:$b_1 = 6(1 - q)$

Подставим это выражение для $b_1$ во второе уравнение системы:$6(1 - q)(1 + q + q^2) = 8,25$

В левой части уравнения находится произведение, которое можно упростить, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:$6(1^3 - q^3) = 8,25$$6(1 - q^3) = 8,25$

Решим полученное уравнение относительно $q^3$:$1 - q^3 = \frac{8,25}{6}$

Представим десятичную дробь 8,25 в виде обыкновенной: $8,25 = 8\frac{25}{100} = 8\frac{1}{4} = \frac{33}{4}$.$1 - q^3 = \frac{33/4}{6} = \frac{33}{4 \cdot 6} = \frac{33}{24}$

Сократим дробь на 3:$1 - q^3 = \frac{11}{8}$

Теперь найдем $q^3$:$q^3 = 1 - \frac{11}{8} = \frac{8}{8} - \frac{11}{8} = -\frac{3}{8}$

Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:$q = \sqrt[3]{-\frac{3}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$. Так как $1 < 3 < 8$, то $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{8}$, что означает $1 < \sqrt[3]{3} < 2$. Следовательно, $|q| = |-\frac{\sqrt[3]{3}}{2}| = \frac{\sqrt[3]{3}}{2} < \frac{2}{2} = 1$. Условие $|q| < 1$ выполняется.

Наконец, найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_1 = 6(1 - q)$:$b_1 = 6 \left(1 - \left(-\frac{\sqrt[3]{3}}{2}\right)\right) = 6 \left(1 + \frac{\sqrt[3]{3}}{2}\right)$$b_1 = 6 \cdot 1 + 6 \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{2} = 6 + 3\sqrt[3]{3}$

Ответ: $6 + 3\sqrt[3]{3}$.