Номер 40.33, страница 202 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.33*. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если от последнего числа отнять 4, то получится арифметическая прогрессия. Если после этого от второго числа отнять 2, то вновь получится геометрическая прогрессия. Найдите наибольшее из этих чисел.

Пусть три исходных числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим первый член этой прогрессии как $b$, а ее знаменатель как $q$. Тогда эти три числа можно записать в виде $b, bq, bq^2$.

Согласно первому условию, если от последнего числа отнять 4, то получится арифметическая прогрессия. Новая последовательность чисел: $b, bq, bq^2 - 4$. Характеристическое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что любой ее член (кроме первого) является средним арифметическим соседних с ним членов. Для нашей последовательности это означает: $bq = \frac{b + (bq^2 - 4)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2 и преобразуем его: $2bq = b + bq^2 - 4$ $b q^2 - 2bq + b = 4$ Вынесем $b$ за скобки: $b(q^2 - 2q + 1) = 4$ Используя формулу квадрата разности, получаем первое уравнение: $b(q-1)^2 = 4 \quad (1)$

Согласно второму условию, если после этого от второго числа отнять 2, то вновь получится геометрическая прогрессия. Мы начинаем с арифметической прогрессии $b, bq, bq^2 - 4$ и изменяем второй член. Новая последовательность: $b, bq - 2, bq^2 - 4$. Характеристическое свойство геометрической прогрессии заключается в том, что квадрат любого ее члена (кроме первого) равен произведению соседних с ним членов. Для нашей последовательности это означает: $(bq - 2)^2 = b(bq^2 - 4)$

Раскроем скобки и упростим это уравнение: $b^2q^2 - 4bq + 4 = b^2q^2 - 4b$ Сократим $b^2q^2$ в обеих частях: $-4bq + 4 = -4b$ Разделим обе части уравнения на -4: $bq - 1 = b$ $bq - b = 1$ Вынесем $b$ за скобки и получим второе уравнение: $b(q-1) = 1 \quad (2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b$ и $q$: $\begin{cases} b(q-1)^2 = 4 \\ b(q-1) = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения видно, что $q \neq 1$, иначе мы бы получили $0=1$, что неверно. Мы можем разделить уравнение (1) на уравнение (2): $\frac{b(q-1)^2}{b(q-1)} = \frac{4}{1}$ $q-1 = 4$ $q = 5$

Теперь подставим найденное значение $q=5$ в уравнение (2), чтобы найти $b$: $b(5-1) = 1$ $4b = 1$ $b = \frac{1}{4}$

Теперь, зная первый член $b$ и знаменатель $q$, найдем исходные три числа:

• Первое число: $b_1 = b = \frac{1}{4}$
• Второе число: $b_2 = bq = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4}$
• Третье число: $b_3 = bq^2 = \frac{1}{4} \cdot 5^2 = \frac{25}{4}$

Исходные числа: $\frac{1}{4}, \frac{5}{4}, \frac{25}{4}$. Наибольшее из этих чисел - $\frac{25}{4}$.

Ответ: Наибольшее из этих чисел равно $\frac{25}{4}$.