Номер 40.32, страница 202 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.32*. Три числа, сумма которых равна 78, составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Они же являются первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии. Найдите наибольшее из этих чисел.

Пусть три искомых числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию $(b_n)$. Обозначим первый член этой прогрессии как $b$, а знаменатель как $q$. Тогда эти три числа можно записать в виде $b$, $bq$, $bq^2$.

Поскольку прогрессия возрастающая, ее знаменатель $q > 1$ (при условии, что $b>0$, что следует из положительной суммы).

По условию, сумма этих трех чисел равна 78:

$b + bq + bq^2 = 78$

$b(1 + q + q^2) = 78$ (1)

Также по условию, эти же три числа являются первым, третьим и девятым членами некоторой арифметической прогрессии $(a_n)$. Пусть первый член этой прогрессии равен $a_1$, а ее разность равна $d$.

Тогда мы имеем следующие соотношения:

$b = a_1$

$bq = a_3 = a_1 + 2d$

$bq^2 = a_9 = a_1 + 8d$

Подставим $a_1 = b$ во второе и третье уравнения:

$bq = b + 2d \implies 2d = bq - b = b(q-1)$ (2)

$bq^2 = b + 8d \implies 8d = bq^2 - b = b(q^2-1)$ (3)

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения $b$ и $q$. Выразим $8d$ из уравнения (2), умножив его на 4:

$8d = 4b(q-1)$

Приравняем правые части этого уравнения и уравнения (3):

$4b(q-1) = b(q^2-1)$

Используя формулу разности квадратов $q^2-1 = (q-1)(q+1)$, получаем:

$4b(q-1) = b(q-1)(q+1)$

Перенесем все члены в одну сторону:

$b(q-1)(q+1) - 4b(q-1) = 0$

Вынесем общий множитель $b(q-1)$ за скобки:

$b(q-1)[(q+1) - 4] = 0$

$b(q-1)(q-3) = 0$

Это уравнение дает три возможных случая:

1. $b=0$. В этом случае все члены прогрессии равны нулю, и их сумма равна 0, а не 78. Этот случай не подходит.

2. $q=1$. В этом случае все члены геометрической прогрессии равны $b$. Их сумма $b+b+b=3b=78$, откуда $b=26$. Числа: 26, 26, 26. Однако, по условию, прогрессия является возрастающей, а эта прогрессия — постоянная. Этот случай также не подходит.

3. $q=3$. Это единственный подходящий случай, так как $q > 1$.

Теперь, зная знаменатель $q=3$, найдем первый член $b$ из уравнения (1):

$b(1 + 3 + 3^2) = 78$

$b(1 + 3 + 9) = 78$

$b \cdot 13 = 78$

$b = \frac{78}{13} = 6$

Теперь мы можем найти все три числа:

Первое число: $b = 6$

Второе число: $bq = 6 \cdot 3 = 18$

Третье число: $bq^2 = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54$

Искомые числа: 6, 18, 54. Их сумма $6+18+54=78$. Они образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Требуется найти наибольшее из этих чисел.

Наибольшее число — 54.

Ответ: 54