Номер 40.30, страница 202 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.30*. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов равна 27, а сумма первых трех членов равна 19. Найдите четвертый член этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению, для такой прогрессии выполняется условие $|q| < 1$.

Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$ находится по формуле:$S = \frac{b_1}{1-q}$По условию задачи, сумма всех членов равна 27, следовательно:$\frac{b_1}{1-q} = 27$

Сумма первых трех членов прогрессии $S_3$ находится по формуле:$S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q}$По условию задачи, сумма первых трех членов равна 19, следовательно:$\frac{b_1(1-q^3)}{1-q} = 19$

Мы получили систему из двух уравнений. Заметим, что выражение для $S_3$ можно представить через $S$:$S_3 = \left(\frac{b_1}{1-q}\right) \cdot (1-q^3) = S \cdot (1-q^3)$

Подставим известные значения $S=27$ и $S_3=19$ в это уравнение:$19 = 27 \cdot (1-q^3)$

Теперь решим это уравнение относительно $q^3$:$1 - q^3 = \frac{19}{27}$$q^3 = 1 - \frac{19}{27}$$q^3 = \frac{27}{27} - \frac{19}{27}$$q^3 = \frac{8}{27}$

Нам нужно найти четвертый член прогрессии, $b_4$. Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 q^{n-1}$. Следовательно, четвертый член равен:$b_4 = b_1 q^{4-1} = b_1 q^3$

Чтобы найти $b_4$, нам нужно найти $b_1$. Для этого сначала найдем $q$:$q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем $b_1$ из первого уравнения $S = \frac{b_1}{1-q}$:$b_1 = S \cdot (1-q) = 27 \cdot \left(1 - \frac{2}{3}\right) = 27 \cdot \frac{1}{3} = 9$

Наконец, вычислим четвертый член $b_4$:$b_4 = b_1 q^3 = 9 \cdot \frac{8}{27} = \frac{9 \cdot 8}{27} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$