Номер 40.26, страница 201 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.26*. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 3, а сумма первого, третьего и пятого членов равна 5,25. Найдите сумму прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, $|q| < 1$.

Члены прогрессии могут быть выражены через $b_1$ и $q$: $b_2 = b_1q$, $b_3 = b_1q^2$, $b_5 = b_1q^4$.

Согласно условию, сумма первых трех членов равна 3. Составим первое уравнение:

$b_1 + b_2 + b_3 = 3$

$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 3$

$b_1(1 + q + q^2) = 3$ (1)

Также по условию, сумма первого, третьего и пятого членов равна 5,25. Составим второе уравнение:

$b_1 + b_3 + b_5 = 5,25$

$b_1 + b_1q^2 + b_1q^4 = 5,25$

$b_1(1 + q^2 + q^4) = 5,25$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Чтобы найти $q$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{b_1(1 + q^2 + q^4)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{5,25}{3}$

$\frac{1 + q^2 + q^4}{1 + q + q^2} = 1,75$

Чтобы упростить левую часть, разложим на множители числитель $1 + q^2 + q^4$. Добавив и вычтя $q^2$, получим разность квадратов:

$1 + q^2 + q^4 = (1 + 2q^2 + q^4) - q^2 = (1 + q^2)^2 - q^2 = (1 + q^2 - q)(1 + q^2 + q)$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$\frac{(1 - q + q^2)(1 + q + q^2)}{1 + q + q^2} = 1,75$

Так как $1 + q + q^2 \neq 0$, мы можем сократить дробь:

$1 - q + q^2 = 1,75$

Получаем квадратное уравнение относительно $q$:

$q^2 - q + 1 - 1,75 = 0$

$q^2 - q - 0,75 = 0$

Представим 0,75 в виде дроби $\frac{3}{4}$ и умножим уравнение на 4, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$4q^2 - 4q - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$

$q = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8}{8}$

Уравнение имеет два корня:

$q_1 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$

$q_2 = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} = -0,5$

Поскольку прогрессия является бесконечно убывающей, модуль ее знаменателя должен быть меньше единицы: $|q| < 1$. Этому условию удовлетворяет только $q_2 = -0,5$.

Теперь найдем $b_1$, подставив $q = -0,5$ в уравнение (1):

$b_1(1 + (-0,5) + (-0,5)^2) = 3$

$b_1(1 - 0,5 + 0,25) = 3$

$b_1(0,75) = 3$

$b_1 = \frac{3}{0,75} = \frac{3}{3/4} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$

Зная первый член $b_1 = 4$ и знаменатель $q = -0,5$, мы можем найти сумму прогрессии $S$ по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$:

$S = \frac{4}{1 - (-0,5)} = \frac{4}{1 + 0,5} = \frac{4}{1,5} = \frac{4}{3/2} = \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$.