Номер 40.29, страница 202 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.29*. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, каждый член которой относится к сумме всех последующих как $2 : 3$.

Пусть $(b_n)$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, $b_1$ — её первый член, а $q$ — её знаменатель. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, $|q| < 1$.

Формула n-го члена прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Сумма всех членов, следующих за $b_n$, представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_{n+1}$, а знаменатель также равен $q$. Найдём эту сумму, обозначив её $S_{>n}$:
$b_{n+1} = b_1 \cdot q^{(n+1)-1} = b_1 \cdot q^n$
$S_{>n} = \frac{b_{n+1}}{1-q} = \frac{b_1 \cdot q^n}{1-q}$

По условию задачи, каждый член прогрессии относится к сумме всех последующих членов как 2 : 3. Это можно записать в виде отношения для любого номера $n$:
$\frac{b_n}{S_{>n}} = \frac{2}{3}$

Подставим выражения для $b_n$ и $S_{>n}$ в это уравнение:
$\frac{b_1 \cdot q^{n-1}}{\frac{b_1 \cdot q^n}{1-q}} = \frac{2}{3}$

Упростим левую часть уравнения. Можно сократить $b_1$ (так как $b_1 \neq 0$) и степени $q$:
$\frac{b_1 \cdot q^{n-1} \cdot (1-q)}{b_1 \cdot q^n} = \frac{q^{n-1}}{q^n} \cdot (1-q) = q^{n-1-n} \cdot (1-q) = q^{-1} \cdot (1-q) = \frac{1-q}{q}$

Таким образом, мы получили уравнение, не зависящее от $n$:
$\frac{1-q}{q} = \frac{2}{3}$

Решим это уравнение относительно $q$, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):
$3 \cdot (1-q) = 2 \cdot q$
$3 - 3q = 2q$
$3 = 2q + 3q$
$3 = 5q$
$q = \frac{3}{5}$

Полученное значение знаменателя $q = \frac{3}{5}$ удовлетворяет условию $|q|<1$, так как $|\frac{3}{5}| = 0.6 < 1$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.