Номер 14, страница 205 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение $(x - \frac{1}{4})(4x - 2) - (x - 1)(2x + 5)x$. В ответ запишите коэффициент при $x^2$.

Для того чтобы найти коэффициент при $x^2$, необходимо сначала упростить данное выражение, приведя его к многочлену стандартного вида.

Исходное выражение: $(x - \frac{1}{4})(4x - 2) - (x - 1)(2x + 5)x$.

1. Упростим первую часть выражения $(x - \frac{1}{4})(4x - 2)$.
Раскроем скобки, перемножая каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(x - \frac{1}{4})(4x - 2) = x \cdot 4x + x \cdot (-2) - \frac{1}{4} \cdot 4x - \frac{1}{4} \cdot (-2) = 4x^2 - 2x - x + \frac{2}{4}$.
Приведем подобные слагаемые:
$4x^2 - 3x + \frac{1}{2}$.

2. Упростим вторую часть выражения $-(x - 1)(2x + 5)x$.
Сначала перемножим двучлены в скобках:
$(x - 1)(2x + 5) = x \cdot 2x + x \cdot 5 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 5 = 2x^2 + 5x - 2x - 5 = 2x^2 + 3x - 5$.
Теперь умножим полученный многочлен на $x$:
$(2x^2 + 3x - 5)x = 2x^2 \cdot x + 3x \cdot x - 5 \cdot x = 2x^3 + 3x^2 - 5x$.

3. Объединим обе части и приведем итоговый многочлен к стандартному виду.
Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(4x^2 - 3x + \frac{1}{2}) - (2x^3 + 3x^2 - 5x)$.
Раскроем скобки, изменив знаки у членов второго многочлена на противоположные из-за знака минус перед ним:
$4x^2 - 3x + \frac{1}{2} - 2x^3 - 3x^2 + 5x$.
Сгруппируем подобные слагаемые и расположим их в порядке убывания степеней переменной $x$:
$-2x^3 + (4x^2 - 3x^2) + (-3x + 5x) + \frac{1}{2} = -2x^3 + x^2 + 2x + \frac{1}{2}$.

Таким образом, многочлен в стандартном виде равен $-2x^3 + x^2 + 2x + \frac{1}{2}$.
Коэффициент при $x^2$ — это числовой множитель перед этим членом. В данном случае член с $x^2$ это $x^2$, что равносильно $1 \cdot x^2$. Следовательно, искомый коэффициент равен 1.

Ответ: 1.