Номер 19, страница 205 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19. Найдите наименьшее значение многочлена $x^2 - 2x + 2y^2 + 8y + 14$.

Для того чтобы найти наименьшее значение многочлена $x^2 - 2x + 2y^2 + 8y + 14$, преобразуем его методом выделения полного квадрата отдельно для переменной $x$ и для переменной $y$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые переменные: $(x^2 - 2x) + (2y^2 + 8y) + 14$.

Выделим полный квадрат для членов с $x$. Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:
$x^2 - 2x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (x - 1)^2 - 1$.

Теперь выделим полный квадрат для членов с $y$. Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(y^2 + 4y)$. Затем, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, преобразуем выражение в скобках:
$y^2 + 4y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (y + 2)^2 - 4$.
Следовательно, $2(y^2 + 4y) = 2((y + 2)^2 - 4) = 2(y + 2)^2 - 8$.

Подставим полученные выражения обратно в исходный многочлен:
$((x - 1)^2 - 1) + (2(y + 2)^2 - 8) + 14$.

Упростим выражение, сложив константы:
$(x - 1)^2 + 2(y + 2)^2 - 1 - 8 + 14 = (x - 1)^2 + 2(y + 2)^2 + 5$.

Итоговое выражение представляет собой сумму трех слагаемых: $(x-1)^2$, $2(y+2)^2$ и $5$. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то $(x - 1)^2 \ge 0$ и $(y + 2)^2 \ge 0$. Следовательно, и $2(y + 2)^2 \ge 0$. Наименьшее значение всего выражения достигается, когда оба слагаемых, зависящих от переменных, принимают свои наименьшие возможные значения, то есть 0. Это происходит при следующих условиях:$(x - 1)^2 = 0$, что верно при $x=1$.
$2(y + 2)^2 = 0$, что верно при $y=-2$.
При этих значениях $x$ и $y$ многочлен принимает свое наименьшее значение. Подставим эти значения в преобразованное выражение:$(1 - 1)^2 + 2(-2 + 2)^2 + 5 = 0^2 + 2(0^2) + 5 = 5$.

Ответ: 5