Номер 5, страница 206 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5. Разложите на множители квадратный трехчлен $7m^2 - 6m - 1$.

а) $(m + 1)(7m - 1)$;

б) $(m - 1)(7m + 1)$;

в) $m(7m - 6) - 1$;

г) $(m - 1)(m + \frac{1}{7})$;

д) $(m + 1)(m - \frac{1}{7})$.

Для того чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $7m^2 - 6m - 1$, мы найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7m^2 - 6m - 1 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a = 7$, $b = -6$, $c = -1$.

Сначала вычислим дискриминант (D) по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $m = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$m_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$.

$m_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$.

Теперь воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Подставляя наши значения $a=7$, $m_1=1$ и $m_2=-\frac{1}{7}$, получаем:

$7m^2 - 6m - 1 = 7(m - 1)(m - (-\frac{1}{7})) = 7(m - 1)(m + \frac{1}{7})$.

Чтобы привести полученное выражение к одному из предложенных вариантов, внесем множитель 7 во вторую скобку:

$7(m - 1)(m + \frac{1}{7}) = (m - 1) \cdot 7(m + \frac{1}{7}) = (m - 1)(7m + 7 \cdot \frac{1}{7}) = (m - 1)(7m + 1)$.

Это выражение соответствует варианту б).

Для дополнительной проверки можно раскрыть скобки в варианте б):

$(m - 1)(7m + 1) = m \cdot 7m + m \cdot 1 - 1 \cdot 7m - 1 \cdot 1 = 7m^2 + m - 7m - 1 = 7m^2 - 6m - 1$.

Результат совпадает с исходным трехчленом, что подтверждает правильность выбора.

Ответ: б) $(m - 1)(7m + 1)$