Номер 9, страница 207 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. Найдите множество значений квадратичной функции $y = x^2 - 8x + 16$.

а) $[4; +\infty)$;

б) $(4; +\infty)$;

в) $(0; +\infty)$;

г) $[0; +\infty)$;

д) $(-\infty; +\infty)$.

Для нахождения множества значений квадратичной функции $y = x^2 - 8x + 16$ можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1: Нахождение вершины параболы

Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола. Множество значений функции зависит от направления ветвей параболы и ординаты ее вершины.

1. Определим направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ в функции $y = x^2 - 8x + 16$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине, и ее множество значений будет иметь вид $[y_v; +\infty)$, где $y_v$ — ордината вершины.

2. Найдем координаты вершины. Координата $x$ вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $b = -8$ и $a = 1$.

$x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Чтобы найти ординату вершины $y_v$, подставим значение $x_v = 4$ в уравнение функции:

$y_v = (4)^2 - 8(4) + 16 = 16 - 32 + 16 = 0$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(4; 0)$. Наименьшее значение функции равно $0$.

Следовательно, множество значений функции — это все числа от $0$ включительно до $+\infty$. В виде интервала это записывается как $[0; +\infty)$.

Способ 2: Выделение полного квадрата

Выражение $x^2 - 8x + 16$ можно представить в виде полного квадрата, используя формулу сокращенного умножения $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$, а $2ab = 8x$, откуда $b=4$. Проверяем: $b^2 = 4^2 = 16$. Формула подходит.

$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$

Таким образом, функцию можно переписать в виде $y = (x - 4)^2$.

Выражение в квадрате, $(x - 4)^2$, всегда неотрицательно, то есть его значение больше или равно нулю для любого действительного числа $x$.

$(x - 4)^2 \ge 0$

Наименьшее значение, равное 0, достигается при $x = 4$. Максимальное значение не ограничено. Таким образом, множество значений функции $y$ — это промежуток $[0; +\infty)$.

Сравнивая результат с предложенными вариантами, видим, что правильный ответ находится под буквой г).

Ответ: г) $[0; +\infty)$