Номер 14, страница 207 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Найдите число целых решений неравенства $(2x-1)^2 \leq 3(x-1)(x+1)$.

Для решения неравенства $(2x - 1)^2 \le 3(x - 1)(x + 1)$ необходимо сначала его упростить. Раскроем скобки в обеих частях. Для левой части применим формулу квадрата разности: $(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$. Для правой части используем формулу разности квадратов: $3(x - 1)(x + 1) = 3(x^2 - 1^2) = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3$.

Подставив полученные выражения в исходное неравенство, получим:$4x^2 - 4x + 1 \le 3x^2 - 3$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:$4x^2 - 3x^2 - 4x + 1 + 3 \le 0$, что приводит к неравенству $x^2 - 4x + 4 \le 0$.

Левая часть этого неравенства является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.

Таким образом, мы получили неравенство $(x - 2)^2 \le 0$.

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$ для всех действительных $x$, данное неравенство может выполняться только в одном случае: когда выражение равно нулю.

$(x - 2)^2 = 0$
$x - 2 = 0$
$x = 2$

Единственным решением неравенства является $x = 2$. Так как 2 — это целое число, то количество целых решений равно одному.

Ответ: 1