Номер 19, страница 208 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19. Найдите значение выражения $\frac{1}{\sqrt{16}+\sqrt{17}}+\frac{1}{\sqrt{17}+\sqrt{18}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{25}}$.

Для того чтобы найти значение данного выражения, мы упростим каждое слагаемое. Основная идея заключается в том, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Этого можно достичь, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Рассмотрим общий вид слагаемого в сумме: $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$. Домножим числитель и знаменатель этой дроби на сопряженное выражение $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.

$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}$

В знаменателе мы получаем разность квадратов по формуле $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

Таким образом, каждое слагаемое вида $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ можно представить в виде разности $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.

Теперь запишем все выражение, используя это преобразование для каждого слагаемого:

$\frac{1}{\sqrt{16}+\sqrt{17}} + \frac{1}{\sqrt{17}+\sqrt{18}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{25}} = (\sqrt{17}-\sqrt{16}) + (\sqrt{18}-\sqrt{17}) + \dots + (\sqrt{25}-\sqrt{24})$

Данная сумма является телескопической. Раскрыв скобки, мы увидим, что промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$-\sqrt{16} + \sqrt{17} - \sqrt{17} + \sqrt{18} - \dots - \sqrt{24} + \sqrt{25}$

После сокращения всех промежуточных членов остаются только первый и последний член (с соответствующими знаками):

$\sqrt{25} - \sqrt{16}$

Вычислим конечный результат:

$5 - 4 = 1$

Ответ: 1