Номер 2.8, страница 17 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.8. Найдите значение степени:

а) $ \left(\frac{1}{9}\right)^{-1} $;

б) $ \left(-\frac{3}{7}\right)^{-1} $;

в) $ \left(\frac{5}{6}\right)^{0} $;

г) $ \left(-\frac{8}{11}\right)^{0} $;

д) $ \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} $;

е) $ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-3} $;

ж) $ \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} $;

з) $ \left(-\frac{5}{7}\right)^{-2} $;

и) $ \left(1\frac{1}{3}\right)^{-2} $;

к) $ \left(-2\frac{4}{7}\right)^{-1} $;

л) $ \left(6\frac{2}{9}\right)^{0} $;

м) $ \left(-1\frac{1}{2}\right)^{-3} $.

а) Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно "перевернуть" дробь (заменить её на обратную) и поменять знак показателя степени на противоположный.
$ \left(\frac{1}{9}\right)^{-1} = \left(\frac{9}{1}\right)^{1} = 9 $
Ответ: 9

б) Используем то же правило, что и в пункте а). Знак минус у основания дроби сохраняется.
$ \left(-\frac{3}{7}\right)^{-1} = \left(-\frac{7}{3}\right)^{1} = -\frac{7}{3} $
Ответ: $ -\frac{7}{3} $

в) Любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице.
$ \left(\frac{5}{6}\right)^{0} = 1 $
Ответ: 1

г) Так же, как и в пункте в), любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.
$ \left(-\frac{8}{11}\right)^{0} = 1 $
Ответ: 1

д) "Переворачиваем" дробь и меняем знак показателя степени. Затем возводим числитель и знаменатель в новую степень.
$ \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{1}\right)^{4} = 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 $
Ответ: 81

е) "Переворачиваем" дробь. Так как новая степень нечетная (3), знак минус у основания сохраняется.
$ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(-\frac{3}{2}\right)^{3} = \frac{(-3)^3}{2^3} = \frac{-27}{8} = -3\frac{3}{8} $
Ответ: $ -\frac{27}{8} $

ж) Применяем правило для отрицательной степени.
$ \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = \left(\frac{2}{1}\right)^{5} = 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 $
Ответ: 32

з) "Переворачиваем" дробь. Так как новая степень четная (2), знак минус у основания "исчезает" (отрицательное число в четной степени становится положительным).
$ \left(-\frac{5}{7}\right)^{-2} = \left(-\frac{7}{5}\right)^{2} = \frac{(-7)^2}{5^2} = \frac{49}{25} = 1\frac{24}{25} $
Ответ: $ \frac{49}{25} $

и) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$ 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} $
Теперь возводим полученную дробь в степень.
$ \left(\frac{4}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $
Ответ: $ \frac{9}{16} $

к) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$ -2\frac{4}{7} = -\frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = -\frac{18}{7} $
Теперь возводим в степень -1.
$ \left(-\frac{18}{7}\right)^{-1} = -\frac{7}{18} $
Ответ: $ -\frac{7}{18} $

л) Смешанное число $ 6\frac{2}{9} $ не равно нулю, поэтому при возведении в нулевую степень результат равен 1.
$ \left(6\frac{2}{9}\right)^{0} = 1 $
Ответ: 1

м) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$ -1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2} $
Возводим в степень -3. Показатель степени нечетный, поэтому знак минус сохранится.
$ \left(-\frac{3}{2}\right)^{-3} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{(-2)^3}{3^3} = \frac{-8}{27} $
Ответ: $ -\frac{8}{27} $