Номер 2.15, страница 18 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.15. Найдите значение выражения:

а) $ (-2)^{-2} $;

б) $ -2^{-2} $;

в) $ (-2)^{-3} $;

г) $ -2^{-3} $;

д) $ (-2)^{-4} $;

е) $ -2^{-4} $;

ж) $ (-2)^{-5} $;

з) $ -2^{-5} $.

а) Для вычисления значения выражения $(-2)^{-2}$ используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. В данном случае основание $a = -2$, а показатель $n=2$.

Применяем правило: $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2}$.

Далее вычисляем знаменатель. Поскольку показатель степени (2) — четное число, результат возведения отрицательного числа в степень будет положительным: $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$.

Подставляем полученное значение в дробь: $\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) В выражении $-2^{-2}$ знак минус не относится к основанию степени, так как скобки отсутствуют. Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем операция унарного минуса (отрицания).

Сначала вычислим $2^{-2}$: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Теперь применяем знак минус к результату: $- (2^{-2}) = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

в) Для вычисления значения выражения $(-2)^{-3}$ используем правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Получаем: $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3}$.

Вычисляем знаменатель. Поскольку показатель степени (3) — нечетное число, результат возведения отрицательного числа в степень будет отрицательным: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.

Подставляем значение в дробь: $\frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

г) В выражении $-2^{-3}$ знак минус стоит перед степенью, поэтому он не относится к основанию. Сначала вычисляем степень, затем применяем знак.

Вычисляем $2^{-3}$: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Применяем знак минус к результату: $-(2^{-3}) = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

д) Для вычисления значения выражения $(-2)^{-4}$ используем правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Получаем: $(-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4}$.

Вычисляем знаменатель. Показатель степени (4) — четное число, поэтому результат будет положительным: $(-2)^4 = 16$.

Подставляем значение в дробь: $\frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$.

е) В выражении $-2^{-4}$ сначала вычисляется степень, а затем применяется знак отрицания.

Вычисляем $2^{-4}$: $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.

Применяем знак минус к результату: $-(2^{-4}) = -\frac{1}{16}$.

Ответ: $-\frac{1}{16}$.

ж) Для вычисления значения выражения $(-2)^{-5}$ используем правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Получаем: $(-2)^{-5} = \frac{1}{(-2)^5}$.

Вычисляем знаменатель. Показатель степени (5) — нечетное число, поэтому результат будет отрицательным: $(-2)^5 = -32$.

Подставляем значение в дробь: $\frac{1}{-32} = -\frac{1}{32}$.

Ответ: $-\frac{1}{32}$.

з) В выражении $-2^{-5}$ сначала вычисляется степень, а затем применяется знак отрицания.

Вычисляем $2^{-5}$: $2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.

Применяем знак минус к результату: $-(2^{-5}) = -\frac{1}{32}$.

Ответ: $-\frac{1}{32}$.