Номер 2.10, страница 17 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.10. Установите порядок действий и найдите значение выражения:

а) $(\frac{3}{4})^{-3} : \frac{2}{9};$

б) $(\frac{5}{9})^{-1} + (-4\frac{1}{7})^0;$

в) $(\frac{1}{7})^{-2} - (\frac{1}{9})^{-2};$

г) $(-3\frac{1}{3})^{-2} \cdot (\frac{2}{7})^{-1};$

д) $(-\frac{2}{3})^{-3} - (-1\frac{1}{3})^{-2};$

е) $(-1\frac{1}{9})^{-1} \cdot (\frac{2}{3})^{-2}.$

а) $(\frac{3}{4})^{-3} : \frac{2}{9}$
Порядок действий: сначала возведение в степень, затем деление.
1. Возведение дроби в отрицательную степень равносильно возведению в положительную степень обратной дроби:$(\frac{3}{4})^{-3} = (\frac{4}{3})^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27}$.
2. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:$\frac{64}{27} : \frac{2}{9} = \frac{64}{27} \cdot \frac{9}{2} = \frac{64 \cdot 9}{27 \cdot 2}$.
Сокращаем дробь: $\frac{32 \cdot 2 \cdot 9}{3 \cdot 9 \cdot 2} = \frac{32}{3}$.
Выделяем целую часть: $\frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$.
Ответ: $10\frac{2}{3}$.

б) $(\frac{5}{9})^{-1} + (-4\frac{1}{7})^0$
Порядок действий: сначала возведение в степень каждого слагаемого, затем сложение.
1. $(\frac{5}{9})^{-1} = \frac{9}{5}$.
2. Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1: $(-4\frac{1}{7})^0 = 1$.
3. Складываем полученные результаты: $\frac{9}{5} + 1 = \frac{9}{5} + \frac{5}{5} = \frac{14}{5}$.
Выделяем целую часть: $\frac{14}{5} = 2\frac{4}{5}$.
Ответ: $2\frac{4}{5}$.

в) $(\frac{1}{7})^{-2} - (\frac{1}{9})^{-2}$
Порядок действий: сначала возведение в степень, затем вычитание.
1. $(\frac{1}{7})^{-2} = (7)^2 = 49$.
2. $(\frac{1}{9})^{-2} = (9)^2 = 81$.
3. Выполняем вычитание: $49 - 81 = -32$.
Ответ: $-32$.

г) $(-3\frac{1}{3})^{-2} \cdot (\frac{2}{7})^{-1}$
Порядок действий: сначала возведение в степень каждого множителя, затем умножение.
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-3\frac{1}{3} = -\frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{10}{3}$.
Возводим в степень: $(-\frac{10}{3})^{-2} = (-\frac{3}{10})^2 = \frac{9}{100}$ (отрицательное число в четной степени становится положительным).
2. Возводим в степень второй множитель: $(\frac{2}{7})^{-1} = \frac{7}{2}$.
3. Перемножаем результаты: $\frac{9}{100} \cdot \frac{7}{2} = \frac{9 \cdot 7}{100 \cdot 2} = \frac{63}{200}$.
Ответ: $\frac{63}{200}$.

д) $(-\frac{2}{3})^{-3} - (-1\frac{1}{3})^{-2}$
Порядок действий: сначала возведение в степень, затем вычитание.
1. Возводим в степень уменьшаемое: $(-\frac{2}{3})^{-3} = (-\frac{3}{2})^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$ (отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным).
2. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$.
Возводим в степень вычитаемое: $(-\frac{4}{3})^{-2} = (-\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.
3. Выполняем вычитание, приводя дроби к общему знаменателю 16:$-\frac{27}{8} - \frac{9}{16} = -\frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{9}{16} = -\frac{54}{16} - \frac{9}{16} = \frac{-54-9}{16} = -\frac{63}{16}$.
Выделяем целую часть: $-\frac{63}{16} = -3\frac{15}{16}$.
Ответ: $-3\frac{15}{16}$.

е) $(-1\frac{1}{9})^{-1} \cdot (\frac{2}{3})^{-2}$
Порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение.
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{9} = -\frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = -\frac{10}{9}$.
Возводим в степень: $(-\frac{10}{9})^{-1} = -\frac{9}{10}$.
2. Возводим в степень второй множитель: $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.
3. Перемножаем результаты: $-\frac{9}{10} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{9 \cdot 9}{10 \cdot 4} = -\frac{81}{40}$.
Выделяем целую часть: $-\frac{81}{40} = -2\frac{1}{40}$.
Ответ: $-2\frac{1}{40}$.