Номер 2.11, страница 17 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.11. Найдите значение степени:

a) $0,2^{-2};$

б) $(-0,3)^{-3};$

в) $0,15^{0};$

г) $(-0,57)^{0};$

д) $2,5^{-2};$

е) $(-1,5)^{-3};$

ж) $3,4^{-1};$

з) $(-3,7)^{0}.$

Для решения данных задач воспользуемся следующими свойствами степени:
1. Степень с отрицательным целым показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (где $a \neq 0$ и $n$ — натуральное число).
2. Степень с нулевым показателем: $a^0 = 1$ (где $a \neq 0$).

а) $0,2^{-2}$
Используем свойство степени с отрицательным показателем. Удобнее представить основание 0,2 в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$0,2^{-2} = (\frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5}{1})^2 = 5^2 = 25$.
Ответ: 25

б) $(-0,3)^{-3}$
Представим основание -0,3 в виде обыкновенной дроби: $-0,3 = -\frac{3}{10}$.
$(-0,3)^{-3} = (-\frac{3}{10})^{-3} = (-\frac{10}{3})^3$.
Так как показатель степени (3) нечетный, знак минус сохраняется:
$(-\frac{10}{3})^3 = -\frac{10^3}{3^3} = -\frac{1000}{27}$.
Ответ: $-\frac{1000}{27}$

в) $0,15^{0}$
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.
$0,15^0 = 1$.
Ответ: 1

г) $(-0,57)^{0}$
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.
$(-0,57)^0 = 1$.
Ответ: 1

д) $2,5^{-2}$
Представим основание 2,5 в виде обыкновенной дроби: $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.
$2,5^{-2} = (\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$.
Ответ: $\frac{4}{25}$

е) $(-1,5)^{-3}$
Представим основание -1,5 в виде обыкновенной дроби: $-1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.
$(-1,5)^{-3} = (-\frac{3}{2})^{-3} = (-\frac{2}{3})^3$.
Так как показатель степени нечетный, знак минус сохраняется:
$(-\frac{2}{3})^3 = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$.
Ответ: $-\frac{8}{27}$

ж) $3,4^{-1}$
Используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
$3,4^{-1} = \frac{1}{3,4}$.
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, представим ее в виде обыкновенной дроби: $3,4 = \frac{34}{10} = \frac{17}{5}$.
$\frac{1}{3,4} = \frac{1}{\frac{17}{5}} = \frac{5}{17}$.
Ответ: $\frac{5}{17}$

з) $(-3,7)^{0}$
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.
$(-3,7)^0 = 1$.
Ответ: 1