Номер 2.18, страница 18 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.18. Найдите значение выражения:

а) $-3^{-4} \cdot 9;$

б) $-0,2^{-4} \cdot 0,32;$

в) $-0,5^3 : 0,1^{-2};$

г) $-10^{-2} : (-5)^{-3} - 1,3^0;$

д) $-1,5^{-2} - 4^{-1} \cdot 5;$

е) $-0,1^{-1} + 2,5^0 : 10^{-1};$

ж) $-6^2 \cdot \frac{1}{12} + (-1,9)^0;$

з) $2,5 \cdot (-0,4)^{-2} + 35 \cdot 2^{-3};$

и) $0,6^{-3} : 1\frac{2}{3} - (-0,75)^{-2};$

к) $\left(-\frac{2}{3}\right)^{-3} : 0,125 + (-0,2)^{-2}.$

а) $-3^{-4} \cdot 9$

Сначала выполним возведение в степень. Обратите внимание, что минус не относится к основанию степени. $3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$. Теперь умножим: $-\frac{1}{81} \cdot 9 = -\frac{9}{81} = -\frac{1}{9}$.
Другой способ — привести все к основанию 3: $-3^{-4} \cdot 9 = -3^{-4} \cdot 3^2 = -3^{-4+2} = -3^{-2} = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}$.
Ответ: $-\frac{1}{9}$.

б) $-0,2^{-4} \cdot 0,32$

Возводим в степень $0,2$: $0,2^{-4} = (\frac{2}{10})^{-4} = (\frac{1}{5})^{-4} = 5^4 = 625$. Теперь умножаем: $-625 \cdot 0,32 = -625 \cdot \frac{32}{100} = -625 \cdot \frac{8}{25} = -\frac{625 \cdot 8}{25} = -25 \cdot 8 = -200$.
Ответ: $-200$.

в) $-0,5^{-3} : 0,1^{-2}$

Вычисляем степени: $-0,5^{-3} = -(\frac{1}{2})^{-3} = -(2^3) = -8$. $0,1^{-2} = (\frac{1}{10})^{-2} = 10^2 = 100$. Выполняем деление: $-8 : 100 = -0,08$.
Ответ: $-0,08$.

г) $-10^{-2} : (-5)^{-3} - 1,3^0$

Вычисляем значения по частям, соблюдая порядок действий (степени, деление, вычитание): $-10^{-2} = -\frac{1}{10^2} = -\frac{1}{100}$. $(-5)^{-3} = \frac{1}{(-5)^3} = -\frac{1}{125}$. $1,3^0 = 1$ (любое ненулевое число в нулевой степени равно 1). Теперь выполним деление: $-\frac{1}{100} : (-\frac{1}{125}) = \frac{1}{100} \cdot 125 = \frac{125}{100} = 1,25$. И вычитание: $1,25 - 1 = 0,25$.
Ответ: $0,25$.

д) $-1,5^{-2} - 4^{-1} \cdot 5$

Вычисляем степени и произведение, затем вычитание: $-1,5^{-2} = -(\frac{3}{2})^{-2} = -(\frac{2}{3})^2 = -\frac{4}{9}$. $4^{-1} \cdot 5 = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4}$. Теперь выполним вычитание: $-\frac{4}{9} - \frac{5}{4}$. Приводим к общему знаменателю 36: $-\frac{4 \cdot 4}{36} - \frac{5 \cdot 9}{36} = -\frac{16}{36} - \frac{45}{36} = \frac{-16-45}{36} = -\frac{61}{36}$.
Ответ: $-\frac{61}{36}$.

е) $-0,1^{-1} + 2,5^0 : 10^{-1}$

Соблюдаем порядок действий: сначала степени, потом деление, затем сложение. $-0,1^{-1} = -(\frac{1}{10})^{-1} = -10$. $2,5^0 = 1$. $10^{-1} = \frac{1}{10}$. Выполняем деление: $1 : 10^{-1} = 1 : \frac{1}{10} = 1 \cdot 10 = 10$. Выполняем сложение: $-10 + 10 = 0$.
Ответ: $0$.

ж) $-6^2 \cdot \frac{1}{12} + (-1,9)^0$

Вычисляем по порядку: $-6^2 = -36$. $(-1,9)^0 = 1$. Выполняем умножение: $-36 \cdot \frac{1}{12} = -\frac{36}{12} = -3$. Выполняем сложение: $-3 + 1 = -2$.
Ответ: $-2$.

з) $2,5 \cdot (-0,4)^{-2} + 35 \cdot 2^{-3}$

Вычисляем каждое слагаемое отдельно. Первое слагаемое: $2,5 \cdot (-0,4)^{-2} = \frac{5}{2} \cdot (-\frac{4}{10})^{-2} = \frac{5}{2} \cdot (-\frac{2}{5})^{-2} = \frac{5}{2} \cdot (-\frac{5}{2})^2 = \frac{5}{2} \cdot \frac{25}{4} = \frac{125}{8}$. Второе слагаемое: $35 \cdot 2^{-3} = 35 \cdot \frac{1}{2^3} = 35 \cdot \frac{1}{8} = \frac{35}{8}$. Складываем результаты: $\frac{125}{8} + \frac{35}{8} = \frac{125+35}{8} = \frac{160}{8} = 20$.
Ответ: $20$.

и) $0,6^{-3} : 1\frac{2}{3} - (-0,75)^{-2}$

Переведем все числа в обыкновенные дроби: $0,6 = \frac{3}{5}$. $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. $-0,75 = -\frac{3}{4}$. Подставим в выражение: $(\frac{3}{5})^{-3} : \frac{5}{3} - (-\frac{3}{4})^{-2}$. Вычисляем степени: $(\frac{3}{5})^{-3} = (\frac{5}{3})^3 = \frac{125}{27}$. $(-\frac{3}{4})^{-2} = (-\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$. Выполняем деление: $\frac{125}{27} : \frac{5}{3} = \frac{125}{27} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25 \cdot 1}{9 \cdot 1} = \frac{25}{9}$. Выполняем вычитание: $\frac{25}{9} - \frac{16}{9} = \frac{25-16}{9} = \frac{9}{9} = 1$.
Ответ: $1$.

к) $(-\frac{2}{3})^{-3} : 0,125 + (-0,2)^{-2}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. $-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$. Подставим в выражение: $(-\frac{2}{3})^{-3} : \frac{1}{8} + (-\frac{1}{5})^{-2}$. Вычисляем степени: $(-\frac{2}{3})^{-3} = (-\frac{3}{2})^3 = -\frac{27}{8}$. $(-\frac{1}{5})^{-2} = (-5)^2 = 25$. Выполняем деление: $-\frac{27}{8} : \frac{1}{8} = -\frac{27}{8} \cdot 8 = -27$. Выполняем сложение: $-27 + 25 = -2$.
Ответ: $-2$.