Номер 2.25, страница 20 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.25. Примените свойства степени с целым показателем и найдите значение выражения:

а) $25^{-4} : 5^{-7};$

б) $4^{-9} : 16^{-4};$

в) $125^{-3} : (0,2^{-4})^{-2};$

г) $32^{-2} : (0,5^{-3})^{-3};$

д) $(2^{-15} \cdot 2^{16})^{-4};$

е) $(10^{-7})^{-2} \cdot 10^{-13};$

ж) $(0,4^3)^2 : 0,16^3;$

з) $(0,09^2)^3 \cdot 0,3^{-10};$

и) $\frac{3^{-1} \cdot 3^{-5}}{3^{-9}};$

к) $\frac{4^{-3} \cdot (2^2)^{-5}}{4^{-11}};$

л) $\frac{6^{10}}{(6^6)^2 \cdot 36^{-2}};$

м) $\frac{25^8 \cdot 5^{-3}}{125^3}.$

а) Чтобы найти значение выражения $25^{-4} : 5^{-7}$, представим число 25 в виде степени с основанием 5: $25 = 5^2$.
$25^{-4} : 5^{-7} = (5^2)^{-4} : 5^{-7}$.
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $5^{2 \cdot (-4)} : 5^{-7} = 5^{-8} : 5^{-7}$.
Далее применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $5^{-8 - (-7)} = 5^{-8+7} = 5^{-1}$.
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2$.
Ответ: 0,2.

б) Чтобы найти значение выражения $4^{-9} : 16^{-4}$, приведем степени к одному основанию, например, к 2. Так как $4 = 2^2$ и $16 = 2^4$.
$(2^2)^{-9} : (2^4)^{-4} = 2^{2 \cdot (-9)} : 2^{4 \cdot (-4)} = 2^{-18} : 2^{-16}$.
Применим свойство деления степеней: $2^{-18 - (-16)} = 2^{-18+16} = 2^{-2}$.
Вычислим результат: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25$.
Ответ: 0,25.

в) Чтобы найти значение выражения $125^{-3} : (0,2^{-4})^{-2}$, приведем все основания к степени числа 5. $125 = 5^3$ и $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
$(5^3)^{-3} : ((5^{-1})^{-4})^{-2}$.
Упростим выражение, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$5^{3 \cdot (-3)} : (5^{(-1) \cdot (-4)})^{-2} = 5^{-9} : (5^4)^{-2} = 5^{-9} : 5^{4 \cdot (-2)} = 5^{-9} : 5^{-8}$.
Применим свойство деления степеней: $5^{-9 - (-8)} = 5^{-9+8} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2$.
Ответ: 0,2.

г) Чтобы найти значение выражения $32^{-2} : (0,5^{-3})^{-3}$, приведем все основания к степени числа 2. $32 = 2^5$ и $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$(2^5)^{-2} : ((2^{-1})^{-3})^{-3}$.
Упростим выражение: $2^{5 \cdot (-2)} : (2^{(-1) \cdot (-3)})^{-3} = 2^{-10} : (2^3)^{-3} = 2^{-10} : 2^{3 \cdot (-3)} = 2^{-10} : 2^{-9}$.
Применим свойство деления степеней: $2^{-10 - (-9)} = 2^{-10+9} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: 0,5.

д) В выражении $(2^{-15} \cdot 2^{16})^{-4}$ сначала выполним действие в скобках, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2^{-15} \cdot 2^{16} = 2^{-15+16} = 2^1 = 2$.
Теперь возведем результат в степень -4: $(2)^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

е) В выражении $(10^{-7})^{-2} \cdot 10^{-13}$ сначала упростим первый множитель: $(10^{-7})^{-2} = 10^{(-7) \cdot (-2)} = 10^{14}$.
Теперь выполним умножение: $10^{14} \cdot 10^{-13} = 10^{14+(-13)} = 10^{14-13} = 10^1 = 10$.
Ответ: 10.

ж) В выражении $(0,4^3)^2 : 0,16^3$ представим 0,16 в виде степени 0,4: $0,16 = 0,4^2$.
Упростим левую часть: $(0,4^3)^2 = 0,4^{3 \cdot 2} = 0,4^6$.
Упростим правую часть: $0,16^3 = (0,4^2)^3 = 0,4^{2 \cdot 3} = 0,4^6$.
Выполним деление: $0,4^6 : 0,4^6 = 0,4^{6-6} = 0,4^0 = 1$.
Ответ: 1.

з) В выражении $(0,09^2)^3 \cdot 0,3^{-10}$ представим 0,09 в виде степени 0,3: $0,09 = 0,3^2$.
$((0,3^2)^2)^3 \cdot 0,3^{-10} = (0,3^{2 \cdot 2})^3 \cdot 0,3^{-10} = (0,3^4)^3 \cdot 0,3^{-10} = 0,3^{4 \cdot 3} \cdot 0,3^{-10} = 0,3^{12} \cdot 0,3^{-10}$.
Выполним умножение: $0,3^{12+(-10)} = 0,3^2 = 0,09$.
Ответ: 0,09.

и) В выражении $\frac{3^{-1} \cdot 3^{-5}}{3^{-9}}$ сначала упростим числитель: $3^{-1} \cdot 3^{-5} = 3^{-1+(-5)} = 3^{-6}$.
Теперь выполним деление: $\frac{3^{-6}}{3^{-9}} = 3^{-6 - (-9)} = 3^{-6+9} = 3^3 = 27$.
Ответ: 27.

к) В выражении $\frac{4^{-3} \cdot (2^2)^{-5}}{4^{-11}}$ заметим, что $2^2 = 4$.
Подставим это в числитель: $\frac{4^{-3} \cdot 4^{-5}}{4^{-11}}$.
Упростим числитель: $4^{-3} \cdot 4^{-5} = 4^{-3+(-5)} = 4^{-8}$.
Выполним деление: $\frac{4^{-8}}{4^{-11}} = 4^{-8 - (-11)} = 4^{-8+11} = 4^3 = 64$.
Ответ: 64.

л) В выражении $\frac{6^{10}}{(6^6)^2 \cdot 36^{-2}}$ упростим знаменатель. Представим 36 как $6^2$.
Знаменатель: $(6^6)^2 \cdot (6^2)^{-2} = 6^{6 \cdot 2} \cdot 6^{2 \cdot (-2)} = 6^{12} \cdot 6^{-4} = 6^{12+(-4)} = 6^8$.
Выполним деление: $\frac{6^{10}}{6^8} = 6^{10-8} = 6^2 = 36$.
Ответ: 36.

м) В выражении $\frac{25^8 \cdot 5^{-3}}{125^3}$ приведем все основания к 5. $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Выражение примет вид: $\frac{(5^2)^8 \cdot 5^{-3}}{(5^3)^3} = \frac{5^{16} \cdot 5^{-3}}{5^9}$.
Упростим числитель: $5^{16} \cdot 5^{-3} = 5^{16+(-3)} = 5^{13}$.
Выполним деление: $\frac{5^{13}}{5^9} = 5^{13-9} = 5^4 = 625$.
Ответ: 625.