Номер 2.31, страница 20 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.31. Известно, что $a^{-1} = \frac{1}{7}$. Найдите $a^{-1}-a$; $a+2a^{-1}$; $a-5a^{-1}$; $a^2 : a^{-1}$; $a^{-2} \cdot a$.

По условию задачи дано, что $a^{-1} = \frac{1}{7}$.

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем найти значение $a$.

$a^{-1} = \frac{1}{a^1} = \frac{1}{a}$.

Таким образом, имеем равенство: $\frac{1}{a} = \frac{1}{7}$.

Из этого равенства следует, что $a = 7$.

Теперь, зная значения $a=7$ и $a^{-1}=\frac{1}{7}$, мы можем найти значения заданных выражений.

$a^{-1} - a$

Подставим известные значения $a=7$ и $a^{-1}=\frac{1}{7}$ в выражение:

$a^{-1} - a = \frac{1}{7} - 7$

Приведем к общему знаменателю 7:

$\frac{1}{7} - \frac{7 \cdot 7}{7} = \frac{1}{7} - \frac{49}{7} = \frac{1 - 49}{7} = -\frac{48}{7}$.

Ответ: $-\frac{48}{7}$.

$a + 2a^{-1}$

Подставим известные значения $a=7$ и $a^{-1}=\frac{1}{7}$ в выражение:

$a + 2a^{-1} = 7 + 2 \cdot \frac{1}{7} = 7 + \frac{2}{7}$

Приведем к общему знаменателю 7:

$\frac{7 \cdot 7}{7} + \frac{2}{7} = \frac{49}{7} + \frac{2}{7} = \frac{49 + 2}{7} = \frac{51}{7}$.

Ответ: $\frac{51}{7}$.

$a - 5a^{-1}$

Подставим известные значения $a=7$ и $a^{-1}=\frac{1}{7}$ в выражение:

$a - 5a^{-1} = 7 - 5 \cdot \frac{1}{7} = 7 - \frac{5}{7}$

Приведем к общему знаменателю 7:

$\frac{7 \cdot 7}{7} - \frac{5}{7} = \frac{49}{7} - \frac{5}{7} = \frac{49 - 5}{7} = \frac{44}{7}$.

Ответ: $\frac{44}{7}$.

$a^2 : a^{-1}$

Для решения этого выражения воспользуемся свойством степеней при делении: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$a^2 : a^{-1} = a^{2 - (-1)} = a^{2+1} = a^3$.

Так как $a = 7$, то $a^3 = 7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$.

Можно также решить прямой подстановкой:

$a^2 : a^{-1} = 7^2 : \frac{1}{7} = 49 : \frac{1}{7} = 49 \cdot 7 = 343$.

Ответ: $343$.

$a^{-2} \cdot a$

Для решения этого выражения воспользуемся свойством степеней при умножении: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^{-2} \cdot a = a^{-2} \cdot a^1 = a^{-2+1} = a^{-1}$.

Из условия задачи мы знаем, что $a^{-1} = \frac{1}{7}$.

Можно также решить прямой подстановкой:

$a^{-2} \cdot a = (7^{-2}) \cdot 7 = \frac{1}{7^2} \cdot 7 = \frac{1}{49} \cdot 7 = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.