Номер 2.32, страница 20 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.32. Найдите значение выражения:

а) $(5^{-1})^{-3} \cdot (0,5^{-2}) \cdot (\frac{1}{10})^{-2} : (0,04)^{-1};$

б) $(3^{-1})^{-3} \cdot (\frac{1}{3})^{-3} : 0,1^2 \cdot 9^{-2}.$

а) $(5^{-1})^{-3} \cdot (0,5^{-2}) \cdot (\frac{1}{10})^{-2} : (0,04)^{-1}$

Для решения данного примера упростим каждый из его компонентов, используя свойства степеней, такие как $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

1. Упростим первый множитель: $(5^{-1})^{-3} = 5^{(-1) \cdot (-3)} = 5^3$.

2. Упростим второй множитель: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда $0,5^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^{(-1) \cdot (-2)} = 2^2$.

3. Упростим третий множитель: $(\frac{1}{10})^{-2} = (10^{-1})^{-2} = 10^{(-1) \cdot (-2)} = 10^2$.

4. Упростим делитель: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$. Тогда $(0,04)^{-1} = (5^{-2})^{-1} = 5^{(-2) \cdot (-1)} = 5^2$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$5^3 \cdot 2^2 \cdot 10^2 : 5^2$

Мы знаем, что $10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$. Подставим это в выражение и выполним вычисления:

$5^3 \cdot 2^2 \cdot (2^2 \cdot 5^2) : 5^2 = \frac{5^3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5^2}{5^2}$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{5^{3+2} \cdot 2^{2+2}}{5^2} = \frac{5^5 \cdot 2^4}{5^2}$

Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получим:

$5^{5-2} \cdot 2^4 = 5^3 \cdot 2^4 = 125 \cdot 16 = 2000$.

Ответ: 2000

б) $(3^{-1})^{-3} : (\frac{1}{3})^{-3} : 0,1^2 \cdot 9^{-2}$

Аналогично предыдущему пункту, упростим каждый член выражения.

1. Упростим делимое: $(3^{-1})^{-3} = 3^{(-1) \cdot (-3)} = 3^3$.

2. Упростим первый делитель: $(\frac{1}{3})^{-3} = (3^{-1})^{-3} = 3^{(-1) \cdot (-3)} = 3^3$.

3. Упростим второй делитель: $0,1^2 = (\frac{1}{10})^2 = (10^{-1})^2 = 10^{-2}$.

4. Упростим множитель: $9^{-2} = (3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}$.

Подставим упрощенные значения в выражение:

$3^3 : 3^3 : 10^{-2} \cdot 3^{-4}$

Выполним действия деления и умножения последовательно слева направо.

1. Первое действие: $3^3 : 3^3 = 3^{3-3} = 3^0 = 1$.

2. Выражение принимает вид: $1 : 10^{-2} \cdot 3^{-4}$.

3. Второе действие: $1 : 10^{-2} = \frac{1}{10^{-2}} = 10^2 = 100$.

4. Выражение принимает вид: $100 \cdot 3^{-4}$.

5. Третье действие: $100 \cdot 3^{-4} = 100 \cdot \frac{1}{3^4} = 100 \cdot \frac{1}{81} = \frac{100}{81}$.

Ответ: $\frac{100}{81}$