Номер 2.35, страница 21 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.35*. Упростите выражение (n — целое число):

а) $ \frac{7^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{21^n}; $

б) $ \frac{12^n}{4^{n-2} \cdot 3^{n+2}}; $

В) $ \frac{45^n}{3^{2n+1} \cdot 5^{n-1}}; $

Г) $ \frac{2^{2n-1} \cdot 3^{2n+1}}{36^n}. $

а) Для упрощения выражения $\frac{7^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{21^n}$ необходимо привести все степени к одинаковым основаниям. Разложим число 21 на простые множители: $21 = 7 \cdot 3$.
Тогда знаменатель можно представить в виде $21^n = (7 \cdot 3)^n = 7^n \cdot 3^n$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{7^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{7^n \cdot 3^n}$
Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством частного степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{7^{n+1}}{7^n} \cdot \frac{3^{n-1}}{3^n} = 7^{(n+1)-n} \cdot 3^{(n-1)-n} = 7^1 \cdot 3^{-1}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-m} = \frac{1}{a^m}$), получаем:
$7 \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
Ответ: $\frac{7}{3}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{12^n}{4^{n-2} \cdot 3^{n+2}}$. Разложим число 12 в числителе на множители 4 и 3, чтобы привести к основаниям, которые уже есть в знаменателе: $12 = 4 \cdot 3$.
Тогда числитель можно переписать как $12^n = (4 \cdot 3)^n = 4^n \cdot 3^n$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{4^n \cdot 3^n}{4^{n-2} \cdot 3^{n+2}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{4^n}{4^{n-2}} \cdot \frac{3^n}{3^{n+2}}$
Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$4^{n-(n-2)} \cdot 3^{n-(n+2)} = 4^{n-n+2} \cdot 3^{n-n-2} = 4^2 \cdot 3^{-2}$
Вычислим результат:
$16 \cdot \frac{1}{3^2} = 16 \cdot \frac{1}{9} = \frac{16}{9}$.
Ответ: $\frac{16}{9}$.

в) Упростим выражение $\frac{45^n}{3^{2n+1} \cdot 5^{n-1}}$. Разложим основание 45 на простые множители: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.
Тогда числитель примет вид $45^n = (3^2 \cdot 5)^n = (3^2)^n \cdot 5^n = 3^{2n} \cdot 5^n$.
Подставим в исходную дробь:
$\frac{3^{2n} \cdot 5^n}{3^{2n+1} \cdot 5^{n-1}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней:
$\frac{3^{2n}}{3^{2n+1}} \cdot \frac{5^n}{5^{n-1}} = 3^{2n-(2n+1)} \cdot 5^{n-(n-1)} = 3^{2n-2n-1} \cdot 5^{n-n+1} = 3^{-1} \cdot 5^1$
Вычислим окончательное значение:
$\frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

г) Упростим выражение $\frac{2^{2n-1} \cdot 3^{2n+1}}{36^n}$. Разложим основание 36 на простые множители: $36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$.
Тогда знаменатель можно записать как $36^n = (2^2 \cdot 3^2)^n = (2^2)^n \cdot (3^2)^n = 2^{2n} \cdot 3^{2n}$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{2^{2n-1} \cdot 3^{2n+1}}{2^{2n} \cdot 3^{2n}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^{2n-1}}{2^{2n}} \cdot \frac{3^{2n+1}}{3^{2n}}$
Используем свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{(2n-1)-2n} \cdot 3^{(2n+1)-2n} = 2^{2n-1-2n} \cdot 3^{2n+1-2n} = 2^{-1} \cdot 3^1$
Вычислим результат:
$\frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.