Номер 2.28, страница 20 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.28. Вычислите:

а) $(-0.1)^4 \cdot 10^5 \div 0.01 + 10^0$;

б) $-0.2^3 \cdot 0.2^{-2} - 5^3 \cdot 5^{-5} + 6.25^0$.

а) $(-0,1)^4 \cdot 10^5 : 0,01 + 10^0$

Для решения этого примера будем следовать порядку выполнения арифметических операций: возведение в степень, умножение и деление (слева направо), сложение и вычитание.

1. Возведение в степень:
$(-0,1)^4$. Так как степень четная (4), результат будет положительным. $0,1^4 = 0,0001$. Также можно представить $0,1$ как $10^{-1}$, тогда $(-0,1)^4 = (10^{-1})^4 = 10^{-4}$.
$10^5 = 100000$.
$10^0 = 1$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1.

2. Умножение:
Подставим вычисленные значения в выражение: $0,0001 \cdot 100000$.
$0,0001 \cdot 100000 = 10$.
Или используя свойства степеней: $10^{-4} \cdot 10^5 = 10^{-4+5} = 10^1 = 10$.

3. Деление:
Теперь выполним деление: $10 : 0,01$.
$10 : 0,01 = 10 : \frac{1}{100} = 10 \cdot 100 = 1000$.
Или используя степени: $0,01 = 10^{-2}$. Тогда $10^1 : 10^{-2} = 10^{1 - (-2)} = 10^{1+2} = 10^3 = 1000$.

4. Сложение:
$1000 + 10^0 = 1000 + 1 = 1001$.

Ответ: $1001$.

б) $-0,2^3 \cdot 0,2^{-2} - 5^3 \cdot 5^{-5} + 6,25^0$

Для решения этого примера вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства степеней.

1. Вычислим первое слагаемое: $-0,2^3 \cdot 0,2^{-2}$.
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$-0,2^3 \cdot 0,2^{-2} = -(0,2^{3+(-2)}) = -(0,2^1) = -0,2$.

2. Вычислим второе слагаемое: $5^3 \cdot 5^{-5}$.
Используем то же свойство: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^3 \cdot 5^{-5} = 5^{3+(-5)} = 5^{-2}$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{25} = \frac{4}{100} = 0,04$.

3. Вычислим третье слагаемое: $6,25^0$.
Любое ненулевое число в степени 0 равно 1: $6,25^0 = 1$.

4. Объединим полученные результаты, выполнив вычитание и сложение:
$-0,2 - 0,04 + 1$.
$-0,2 - 0,04 = -0,24$.
$-0,24 + 1 = 0,76$.

Ответ: $0,76$.