Номер 2.22, страница 19 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.22. Найдите значение выражения:

а) $5^{-8} \cdot 5^6$;
б) $11^9 \cdot 11^{-10}$;
в) $625 \cdot 5^{-6}$;
г) $10^{-8} \cdot 10\,000$;
д) $2^{-5} \cdot 32$;
е) $7^{-5} : 7^{-7}$;
ж) $2^{-5} : 2^2$;
з) $15 : 15^{-1}$;
и) $8 : 2^{-4}$;
к) $\frac{1}{9} : 3^{-2}$;
л) $(10^{-3})^{-2}$;
м) $(2^5)^{-1}$;
н) $(5^{-2})^{-2}$;
о) $(2^{-4})^2$;
п) $\left(\left(\frac{1}{7}\right)^{-1}\right)^2$;
р) $\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\right)^{-2}$.

а) Для нахождения значения выражения используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$5^{-8} \cdot 5^6 = 5^{-8+6} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$.

б) Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$11^9 \cdot 11^{-10} = 11^{9+(-10)} = 11^{-1} = \frac{1}{11}$.
Ответ: $\frac{1}{11}$.

в) Представим число 625 как степень числа 5: $625 = 5^4$. Затем используем свойство умножения степеней.
$625 \cdot 5^{-6} = 5^4 \cdot 5^{-6} = 5^{4-6} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$.

г) Представим число 10 000 как степень числа 10: $10000 = 10^4$. Затем используем свойство умножения степеней.
$10^{-8} \cdot 10000 = 10^{-8} \cdot 10^4 = 10^{-8+4} = 10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} = 0.0001$.
Ответ: $0.0001$.

д) Представим число 32 как степень числа 2: $32 = 2^5$. Затем используем свойство умножения степеней.
$2^{-5} \cdot 32 = 2^{-5} \cdot 2^5 = 2^{-5+5} = 2^0 = 1$.
Ответ: $1$.

е) Для нахождения значения выражения используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$7^{-5} : 7^{-7} = 7^{-5 - (-7)} = 7^{-5+7} = 7^2 = 49$.
Ответ: $49$.

ж) Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$2^{-5} : 2^2 = 2^{-5-2} = 2^{-7} = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}$.
Ответ: $\frac{1}{128}$.

з) Представим число 15 как $15^1$ и используем свойство деления степеней.
$15 : 15^{-1} = 15^1 : 15^{-1} = 15^{1 - (-1)} = 15^{1+1} = 15^2 = 225$.
Ответ: $225$.

и) Представим число 8 как степень числа 2: $8=2^3$. Затем используем свойство деления степеней.
$8 : 2^{-4} = 2^3 : 2^{-4} = 2^{3 - (-4)} = 2^{3+4} = 2^7 = 128$.
Ответ: $128$.

к) Представим дробь $\frac{1}{9}$ как степень числа 3: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
$\frac{1}{9} : 3^{-2} = 3^{-2} : 3^{-2} = 3^{-2 - (-2)} = 3^0 = 1$.
Ответ: $1$.

л) Для нахождения значения выражения используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(10^{-3})^{-2} = 10^{(-3) \cdot (-2)} = 10^6 = 1000000$.
Ответ: $1000000$.

м) Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2^5)^{-1} = 2^{5 \cdot (-1)} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$.

н) Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(5^{-2})^{-2} = 5^{(-2) \cdot (-2)} = 5^4 = 625$.
Ответ: $625$.

о) Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2^{-4})^2 = 2^{-4 \cdot 2} = 2^{-8} = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$.
Ответ: $\frac{1}{256}$.

п) Сначала выполним действие в скобках, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Затем возведем в квадрат.
$((\frac{1}{7})^{-1})^2 = (7^1)^2 = 7^2 = 49$.
Или можно использовать свойство возведения степени в степень: $((\frac{1}{7})^{-1})^2 = (\frac{1}{7})^{-1 \cdot 2} = (\frac{1}{7})^{-2} = 7^2 = 49$.
Ответ: $49$.

р) Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$((\frac{1}{3})^{-2})^{-2} = (\frac{1}{3})^{(-2) \cdot (-2)} = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$.
Ответ: $\frac{1}{81}$.