Номер 2.24, страница 19 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.24. Упростите выражение:

а) $(a^5)^{-2} \cdot (a^{-13})^{-1};$

б) $(a^{-2})^{-4} \cdot (a^2)^{-3};$

в) $(a^4)^{-1} : (a^{-3})^2;$

г) $\frac{(a^{-4})^3}{a^{-3} \cdot (a^4 \cdot a)^2};$

д) $\frac{(a^5)^2 \cdot a^{-15}}{a \cdot a^{-4}};$

е) $\frac{(a^{-3})^4 \cdot a^{-2}}{(a^5)^{-1} \cdot (a^{-6})^2};$

а) $(a^5)^{-2} \cdot (a^{-13})^{-1}$

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ к каждому множителю:

$(a^5)^{-2} = a^{5 \cdot (-2)} = a^{-10}$

$(a^{-13})^{-1} = a^{-13 \cdot (-1)} = a^{13}$

Теперь выражение примет вид: $a^{-10} \cdot a^{13}$.

Далее, применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, сложив показатели степеней:

$a^{-10} \cdot a^{13} = a^{-10 + 13} = a^3$

Ответ: $a^3$.

б) $(a^{-2})^{-4} \cdot (a^2)^{-3}$

Используем те же свойства степеней. Применяем правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^{-2})^{-4} = a^{-2 \cdot (-4)} = a^{8}$

$(a^2)^{-3} = a^{2 \cdot (-3)} = a^{-6}$

Подставляем полученные значения обратно в выражение:

$a^{8} \cdot a^{-6}$

Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{8 + (-6)} = a^{8-6} = a^2$

Ответ: $a^2$.

в) $(a^4)^{-1} : (a^{-3})^2$

Для решения нам понадобятся свойства возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ и деления степеней с одинаковым основанием $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Сначала упростим делимое и делитель:

$(a^4)^{-1} = a^{4 \cdot (-1)} = a^{-4}$

$(a^{-3})^2 = a^{-3 \cdot 2} = a^{-6}$

Теперь выражение выглядит так: $a^{-4} : a^{-6}$.

Применяем правило деления степеней, вычитая показатель делителя из показателя делимого:

$a^{-4 - (-6)} = a^{-4 + 6} = a^2$

Ответ: $a^2$.

г) $\frac{(a^{-4})^3}{a^{-3} \cdot (a^4 \cdot a)^2}$

Упростим выражение по частям: сначала числитель, затем знаменатель.

Упростим числитель по правилу $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^{-4})^3 = a^{-4 \cdot 3} = a^{-12}$

Теперь упростим знаменатель. Сначала выполним действие в скобках, помня, что $a = a^1$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^4 \cdot a = a^4 \cdot a^1 = a^{4+1} = a^5$

Далее возведем результат в квадрат:

$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$

Теперь знаменатель целиком: $a^{-3} \cdot a^{10} = a^{-3+10} = a^7$.

И наконец, разделим числитель на знаменатель, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^{-12}}{a^7} = a^{-12 - 7} = a^{-19}$

Ответ: $a^{-19}$.

д) $\frac{(a^5)^2 \cdot a^{-15}}{a \cdot a^{-4}}$

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Упрощение числителя:
$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$
Затем: $a^{10} \cdot a^{-15} = a^{10 + (-15)} = a^{-5}$

Упрощение знаменателя (помним, что $a = a^1$):
$a \cdot a^{-4} = a^1 \cdot a^{-4} = a^{1 + (-4)} = a^{-3}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{a^{-5}}{a^{-3}} = a^{-5 - (-3)} = a^{-5+3} = a^{-2}$

Ответ: $a^{-2}$.

е) $\frac{(a^{-3})^4 \cdot a^{-2}}{(a^5)^{-1} \cdot (a^{-6})^2}$

Как и в предыдущих примерах, упростим числитель и знаменатель по отдельности, используя свойства степеней.

Упрощение числителя:
$(a^{-3})^4 = a^{-3 \cdot 4} = a^{-12}$
Весь числитель: $a^{-12} \cdot a^{-2} = a^{-12 + (-2)} = a^{-14}$

Упрощение знаменателя:
$(a^5)^{-1} = a^{5 \cdot (-1)} = a^{-5}$
$(a^{-6})^2 = a^{-6 \cdot 2} = a^{-12}$
Весь знаменатель: $a^{-5} \cdot a^{-12} = a^{-5 + (-12)} = a^{-17}$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{a^{-14}}{a^{-17}} = a^{-14 - (-17)} = a^{-14 + 17} = a^3$

Ответ: $a^3$.