Номер 2.23, страница 19 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.23. Используйте свойства степени и вычислите:

а) $90^{-4} : 45^{-4}$;

б) $\frac{5^{-2}}{15^{-2}};

в) $8,5^{-5} : 85^{-5};

г) $\frac{85^{-3}}{17^{-3}};

д) $2^{-4} \cdot 5^{-4};

е) $2,5^{-9} \cdot 0,4^{-9};

ж) $35^{-5} \cdot \left(\frac{2}{35}\right)^{-5};

з) $10^{-6} \cdot 0,1^{-6};

и) $1,5^{-4} \cdot \left(1\frac{1}{3}\right)^{-4}.

а) Для вычисления выражения $90^{-4} : 45^{-4}$ используем свойство деления степеней с одинаковыми показателями: $a^n : b^n = (a : b)^n$. Применяя это свойство, получаем: $90^{-4} : 45^{-4} = (90 : 45)^{-4} = 2^{-4}$. Далее, используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Таким образом, $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

б) В выражении $\frac{5^{-2}}{15^{-2}}$ также применяется свойство деления степеней с одинаковыми показателями, которое для дробей выглядит так: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$. Получаем: $\frac{5^{-2}}{15^{-2}} = (\frac{5}{15})^{-2} = (\frac{1}{3})^{-2}$. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и изменить знак степени на положительный: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Следовательно, $(\frac{1}{3})^{-2} = (\frac{3}{1})^2 = 3^2 = 9$.
Ответ: $9$.

в) Выражение $8,5^{-5} : 85^{-5}$ решается аналогично пункту а). Применяем свойство $a^n : b^n = (a : b)^n$: $8,5^{-5} : 85^{-5} = (8,5 : 85)^{-5} = (\frac{8,5}{85})^{-5} = (\frac{1}{10})^{-5}$. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем: $(\frac{1}{10})^{-5} = 10^5 = 100000$.
Ответ: $100000$.

г) Для дроби $\frac{85^{-3}}{17^{-3}}$ используем свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$: $\frac{85^{-3}}{17^{-3}} = (\frac{85}{17})^{-3} = 5^{-3}$. Затем, по определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем: $5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$.
Ответ: $\frac{1}{125}$.

д) Для вычисления произведения $2^{-4} \cdot 5^{-4}$ используется свойство умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Применяя его, получаем: $2^{-4} \cdot 5^{-4} = (2 \cdot 5)^{-4} = 10^{-4}$. Далее, $10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} = 0,0001$.
Ответ: $0,0001$.

е) В выражении $2,5^{-9} \cdot 0,4^{-9}$ также применяем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$: $2,5^{-9} \cdot 0,4^{-9} = (2,5 \cdot 0,4)^{-9}$. Вычисляем произведение в скобках: $2,5 \cdot 0,4 = 1$. Тогда выражение становится равным $1^{-9}$. Любая степень числа 1 равна 1, поэтому $1^{-9} = 1$.
Ответ: $1$.

ж) Для выражения $35^{-5} \cdot (\frac{2}{35})^{-5}$ используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$: $35^{-5} \cdot (\frac{2}{35})^{-5} = (35 \cdot \frac{2}{35})^{-5}$. Выполнив умножение в скобках, получаем: $(35 \cdot \frac{2}{35})^{-5} = 2^{-5}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем, находим результат: $2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$.

з) Выражение $10^{-6} \cdot 0,1^{-6}$ вычисляется с помощью свойства $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$: $10^{-6} \cdot 0,1^{-6} = (10 \cdot 0,1)^{-6}$. Произведение в скобках равно $10 \cdot 0,1 = 1$. Следовательно, получаем $1^{-6}$, что равно $1$.
Ответ: $1$.

и) В выражении $1,5^{-4} \cdot (1\frac{1}{3})^{-4}$ сначала преобразуем числа в обыкновенные дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$ и $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Теперь выражение имеет вид $(\frac{3}{2})^{-4} \cdot (\frac{4}{3})^{-4}$. Применяем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$: $(\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3})^{-4}$. Выполняем умножение дробей: $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{6} = 2$. Получаем $2^{-4}$. В итоге, $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.