Номер 2.26, страница 20 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.26. Вычислите рациональным способом:

а) $(-7)^{-7} \cdot (\frac{1}{7})^{-7}$;

б) $(\frac{1}{5})^{-8} \cdot (-5)^{-8}$;

в) $(-0,1^{-3})^2$;

г) $(-0,1^2)^{-3}$;

д) $\frac{(-5^{-2})^3}{5^{-4}};

е) $\frac{(-2^{-3})^5}{(2^5)^{-4}}.$

а) $(-7)^{-7} \cdot (\frac{1}{7})^{-7}$

Для решения этого примера воспользуемся свойством степени: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. В данном случае показатели степени у обоих множителей одинаковы и равны $-7$.

Сгруппируем основания под одним показателем степени:

$(-7)^{-7} \cdot (\frac{1}{7})^{-7} = (-7 \cdot \frac{1}{7})^{-7}$

Вычислим произведение в скобках:

$-7 \cdot \frac{1}{7} = -1$

Теперь возведем результат в степень $-7$:

$(-1)^{-7} = \frac{1}{(-1)^7}$

Так как показатель степени $7$ является нечетным числом, $(-1)^7 = -1$.

$\frac{1}{-1} = -1$

Ответ: $-1$

б) $(\frac{1}{5})^{-8} \cdot (-5)^{-8}$

Этот пример решается аналогично предыдущему, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, так как показатели степени равны $-8$.

$(\frac{1}{5})^{-8} \cdot (-5)^{-8} = (\frac{1}{5} \cdot (-5))^{-8}$

Вычислим произведение в скобках:

$\frac{1}{5} \cdot (-5) = -1$

Возведем результат в степень $-8$:

$(-1)^{-8} = \frac{1}{(-1)^8}$

Так как показатель степени $8$ является четным числом, $(-1)^8 = 1$.

$\frac{1}{1} = 1$

Ответ: $1$

в) $(-0,1^{-3})^2$

В этом выражении сначала нужно вычислить значение в скобках. Степень $-3$ относится только к числу $0,1$.

Представим $0,1$ в виде степени числа $10$: $0,1 = 10^{-1}$.

$0,1^{-3} = (10^{-1})^{-3} = 10^{(-1) \cdot (-3)} = 10^3 = 1000$

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:

$(-1000)^2$

Возводим в квадрат. Так как степень четная, знак минус исчезает:

$(-1000)^2 = 1000^2 = (10^3)^2 = 10^{3 \cdot 2} = 10^6 = 1\ 000\ 000$

Ответ: $1\ 000\ 000$

г) $(-0,1^2)^{-3}$

Сначала вычислим выражение в скобках. Степень $2$ относится только к числу $0,1$.

$0,1^2 = (0,1) \cdot (0,1) = 0,01$

Подставим полученное значение в выражение:

$(-0,01)^{-3}$

Воспользуемся свойством отрицательной степени $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$:

$(-0,01)^{-3} = (-\frac{1}{100})^{-3} = (-100)^3$

Так как показатель степени $3$ нечетный, знак минус сохранится:

$(-100)^3 = - (100 \cdot 100 \cdot 100) = -1\ 000\ 000$

Ответ: $-1\ 000\ 000$

д) $\frac{(-5^{-2})^3}{5^{-4}}$

Сначала упростим числитель. Степень $-2$ относится только к числу $5$.

$(-5^{-2})^3 = (-1 \cdot 5^{-2})^3 = (-1)^3 \cdot (5^{-2})^3$

Поскольку степень $3$ нечетная, $(-1)^3 = -1$. Для степени числа $5$ используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^{-2})^3 = 5^{-2 \cdot 3} = 5^{-6}$

Таким образом, числитель равен $-5^{-6}$.

Теперь все выражение выглядит так:

$\frac{-5^{-6}}{5^{-4}}$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$-(5^{-6 - (-4)}) = -(5^{-6+4}) = -5^{-2}$

Вычисляем конечный результат:

$-5^{-2} = -\frac{1}{5^2} = -\frac{1}{25}$

Ответ: $-\frac{1}{25}$

е) $\frac{(-2^{-3})^5}{(2^5)^{-4}}$

Упростим числитель и знаменатель по отдельности, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Числитель: $(-2^{-3})^5$. Степень $-3$ относится только к $2$.

$(-2^{-3})^5 = (-1 \cdot 2^{-3})^5 = (-1)^5 \cdot (2^{-3})^5 = -1 \cdot 2^{-3 \cdot 5} = -2^{-15}$

Знаменатель:

$(2^5)^{-4} = 2^{5 \cdot (-4)} = 2^{-20}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{-2^{-15}}{2^{-20}}$

Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$-(2^{-15 - (-20)}) = -(2^{-15+20}) = -2^5$

Вычисляем значение:

$-2^5 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -32$

Ответ: $-32$