Номер 2.30, страница 20 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.30. Найдте частное чисел $a$ и $b$, если $a = 7^9 \cdot (5^{-2})^{-2} \cdot \frac{1}{2^{-2}}$ и

$b = 7^8 \cdot 5^5 \cdot \frac{1}{2^{-1}}$.

Для того чтобы найти частное чисел $a$ и $b$, необходимо вычислить значение выражения $\frac{a}{b}$. Сначала упростим выражения для $a$ и $b$ по отдельности, используя свойства степеней.

1. Упростим выражение для $a$.
$a = 7^9 \cdot (5^{-2})^{-2} \cdot \frac{1}{2^{-2}}$
Применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$(5^{-2})^{-2} = 5^{(-2) \cdot (-2)} = 5^4$.
Далее применим свойство для дроби с отрицательной степенью в знаменателе $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$:
$\frac{1}{2^{-2}} = 2^2$.
Таким образом, выражение для $a$ принимает вид:
$a = 7^9 \cdot 5^4 \cdot 2^2$.

2. Упростим выражение для $b$.
$b = 7^8 \cdot 5^5 \cdot \frac{1}{2^{-1}}$
Аналогично предыдущему шагу, упростим дробь:
$\frac{1}{2^{-1}} = 2^1 = 2$.
Таким образом, выражение для $b$ принимает вид:
$b = 7^8 \cdot 5^5 \cdot 2$.

3. Теперь найдем частное $\frac{a}{b}$.
Подставим упрощенные выражения для $a$ и $b$:
$\frac{a}{b} = \frac{7^9 \cdot 5^4 \cdot 2^2}{7^8 \cdot 5^5 \cdot 2^1}$.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ для каждого множителя:
$\frac{a}{b} = \frac{7^9}{7^8} \cdot \frac{5^4}{5^5} \cdot \frac{2^2}{2^1} = 7^{9-8} \cdot 5^{4-5} \cdot 2^{2-1} = 7^1 \cdot 5^{-1} \cdot 2^1$.
Используя определение отрицательной степени $x^{-1} = \frac{1}{x}$, получаем:
$\frac{a}{b} = 7 \cdot \frac{1}{5} \cdot 2 = \frac{7 \cdot 2}{5} = \frac{14}{5}$.

Ответ: $\frac{14}{5}$