Номер 2.37, страница 21 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.37*. Упростите выражение $\frac{2^{n-4} \cdot 7^{n-2} + 2^{n-1} \cdot 7^{n-4}}{14^{n-4}}$ (n – целое число).

2.37*

Для упрощения данного выражения $\frac{2^{n-4} \cdot 7^{n-2} + 2^{n-1} \cdot 7^{n-4}}{14^{n-4}}$ преобразуем его числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем знаменатель. Так как $14 = 2 \cdot 7$, то, используя свойство степени произведения $(ab)^m = a^m b^m$, получаем:

$14^{n-4} = (2 \cdot 7)^{n-4} = 2^{n-4} \cdot 7^{n-4}$.

Теперь преобразуем числитель $2^{n-4} \cdot 7^{n-2} + 2^{n-1} \cdot 7^{n-4}$. Вынесем за скобки общий множитель. Для этого приведем степени к наименьшим общим показателям. Наименьший показатель для основания 2 это $n-4$, а для основания 7 это также $n-4$. Используя свойство степени $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$, представим степени с бо́льшими показателями:

$7^{n-2} = 7^{(n-4)+2} = 7^{n-4} \cdot 7^2$

$2^{n-1} = 2^{(n-4)+3} = 2^{n-4} \cdot 2^3$

Подставим эти выражения в числитель и вынесем общий множитель $2^{n-4} \cdot 7^{n-4}$ за скобки:

$2^{n-4} \cdot (7^{n-4} \cdot 7^2) + (2^{n-4} \cdot 2^3) \cdot 7^{n-4} = 2^{n-4} \cdot 7^{n-4} \cdot (7^2 + 2^3)$.

Теперь, когда числитель и знаменатель преобразованы, подставим их обратно в исходную дробь:

$\frac{2^{n-4} \cdot 7^{n-4} \cdot (7^2 + 2^3)}{2^{n-4} \cdot 7^{n-4}}$

Сократим дробь на общий множитель $2^{n-4} \cdot 7^{n-4}$, который не равен нулю ни при каком целом $n$:

$7^2 + 2^3$

Осталось вычислить значение этого выражения:

$49 + 8 = 57$.

Таким образом, значение исходного выражения не зависит от $n$ и равно 57.

Ответ: 57.