Номер 2.36, страница 21 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.36*. Сократите дробь (n — целое число):

a) $ \frac{5^n + 5^{n+2}}{26} $;

б) $ \frac{3^{n+2} - 3^n}{8} $;

в) $ \frac{4^{n+1} - 2^{2n}}{4^n} $;

г) $ \frac{2 \cdot 5^n + 5^n}{2 \cdot 5^{n+1}} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{5^n + 5^{n+2}}{26}$, преобразуем её числитель. Используем свойство степеней $a^{m+k}=a^m \cdot a^k$, чтобы представить $5^{n+2}$ как $5^n \cdot 5^2$.
$\frac{5^n + 5^n \cdot 5^2}{26}$
Теперь вынесем общий множитель $5^n$ за скобки в числителе:
$\frac{5^n(1 + 5^2)}{26} = \frac{5^n(1 + 25)}{26} = \frac{5^n \cdot 26}{26}$
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 26:
$\frac{5^n \cdot 26}{26} = 5^n$
Ответ: $5^n$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{3^{n+2} - 3^n}{8}$, преобразуем её числитель. Используем свойство степеней $a^{m+k}=a^m \cdot a^k$, чтобы представить $3^{n+2}$ как $3^n \cdot 3^2$.
$\frac{3^n \cdot 3^2 - 3^n}{8}$
Вынесем общий множитель $3^n$ за скобки в числителе:
$\frac{3^n(3^2 - 1)}{8} = \frac{3^n(9 - 1)}{8} = \frac{3^n \cdot 8}{8}$
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:
$\frac{3^n \cdot 8}{8} = 3^n$
Ответ: $3^n$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{4^{n+1} - 2^{2n}}{4^n}$, преобразуем её числитель. Используем свойства степеней $a^{m+k}=a^m \cdot a^k$ и $(a^m)^k=a^{mk}$.
Представим $4^{n+1}$ как $4^n \cdot 4^1$ и $2^{2n}$ как $(2^2)^n = 4^n$.
$\frac{4^n \cdot 4 - 4^n}{4^n}$
Вынесем общий множитель $4^n$ за скобки в числителе:
$\frac{4^n(4 - 1)}{4^n} = \frac{4^n \cdot 3}{4^n}$
Сокращаем дробь на $4^n$:
$\frac{4^n \cdot 3}{4^n} = 3$
Ответ: $3$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{2 \cdot 5^n + 5^n}{2 \cdot 5^{n+1}}$, упростим её числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $5^n$ за скобки:
$2 \cdot 5^n + 5^n = 5^n(2+1) = 3 \cdot 5^n$
В знаменателе используем свойство степеней $a^{m+k}=a^m \cdot a^k$:
$2 \cdot 5^{n+1} = 2 \cdot 5^n \cdot 5^1 = (2 \cdot 5) \cdot 5^n = 10 \cdot 5^n$
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:
$\frac{3 \cdot 5^n}{10 \cdot 5^n}$
Сокращаем дробь на $5^n$:
$\frac{3}{10}$
Ответ: $\frac{3}{10}$