Номер 2.34, страница 21 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.34*. Найдите значение выражения (n — целое число):

а) $\frac{14^n}{2^{n-2} \cdot 7^n}$;

б) $\frac{36^{n+1}}{6^{2n+1}}$;

В) $\frac{3^{n-3} \cdot 11^{n+1}}{33^n}$;

Г) $\frac{7^{2n+1}}{49^{n-1}}$.

а)

Для того чтобы найти значение выражения, преобразуем его, используя свойства степеней.
Представим число 14 в числителе как произведение простых множителей $2 \cdot 7$:
$\frac{14^n}{2^{n-2} \cdot 7^n} = \frac{(2 \cdot 7)^n}{2^{n-2} \cdot 7^n}$
Используем свойство степени произведения $(ab)^k = a^k b^k$:
$\frac{2^n \cdot 7^n}{2^{n-2} \cdot 7^n}$
Сократим дробь на общий множитель $7^n$:
$\frac{2^n}{2^{n-2}}$
Используем свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$2^{n - (n-2)} = 2^{n - n + 2} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

б)

Преобразуем выражение, приведя степени к одному основанию 6.
Представим число 36 в числителе как $6^2$:
$\frac{36^{n+1}}{6^{2n+1}} = \frac{(6^2)^{n+1}}{6^{2n+1}}$
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^k = a^{mk}$:
$\frac{6^{2(n+1)}}{6^{2n+1}} = \frac{6^{2n+2}}{6^{2n+1}}$
Используем свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$6^{(2n+2) - (2n+1)} = 6^{2n+2 - 2n - 1} = 6^1 = 6$.
Ответ: 6

в)

Преобразуем выражение, разложив основание 33 на простые множители.
Представим число 33 в знаменателе как произведение $3 \cdot 11$:
$\frac{3^{n-3} \cdot 11^{n+1}}{33^n} = \frac{3^{n-3} \cdot 11^{n+1}}{(3 \cdot 11)^n}$
Используем свойство степени произведения $(ab)^k = a^k b^k$:
$\frac{3^{n-3} \cdot 11^{n+1}}{3^n \cdot 11^n}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{3^{n-3}}{3^n} \cdot \frac{11^{n+1}}{11^n}$
Используем свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$ для каждого множителя:
$3^{(n-3)-n} \cdot 11^{(n+1)-n} = 3^{-3} \cdot 11^1 = \frac{1}{3^3} \cdot 11 = \frac{1}{27} \cdot 11 = \frac{11}{27}$.
Ответ: $\frac{11}{27}$

г)

Преобразуем выражение, приведя степени к одному основанию 7.
Представим число 49 в знаменателе как $7^2$:
$\frac{7^{2n+1}}{49^{n-1}} = \frac{7^{2n+1}}{(7^2)^{n-1}}$
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^k = a^{mk}$:
$\frac{7^{2n+1}}{7^{2(n-1)}} = \frac{7^{2n+1}}{7^{2n-2}}$
Используем свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$7^{(2n+1) - (2n-2)} = 7^{2n+1 - 2n + 2} = 7^3 = 343$.
Ответ: 343