Номер 2.33, страница 21 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.33*. Представьте произведение:

a) $10^{-n} \cdot 0,0125^{-n} \cdot 128^{n+1}$ в виде степени с основанием 2;

б) $0,0004^{-n} \cdot 125^{n+3} \cdot 100^{-n}$ в виде степени с основанием 5.

а) Чтобы представить произведение $10^{-n} \cdot 0.0125^{-n} \cdot 128^{n+1}$ в виде степени с основанием 2, необходимо преобразовать каждый множитель, выразив его основание через простые числа, и затем упростить выражение, используя свойства степеней.

1. Представим основания множителей в виде произведения степеней простых чисел.
Число 10 можно представить как $10 = 2 \cdot 5$.
Десятичную дробь 0,0125 представим в виде обыкновенной дроби и разложим на множители: $0,0125 = \frac{125}{10000} = \frac{1}{80} = \frac{1}{16 \cdot 5} = \frac{1}{2^4 \cdot 5} = 2^{-4} \cdot 5^{-1}$.
Число 128 является степенью двойки: $128 = 2^7$.

2. Подставим полученные представления в исходное выражение, используя свойство $(a^m)^k = a^{mk}$:
$10^{-n} = (2 \cdot 5)^{-n} = 2^{-n} \cdot 5^{-n}$
$0,0125^{-n} = (2^{-4} \cdot 5^{-1})^{-n} = 2^{(-4)(-n)} \cdot 5^{(-1)(-n)} = 2^{4n} \cdot 5^n$
$128^{n+1} = (2^7)^{n+1} = 2^{7(n+1)} = 2^{7n+7}$

3. Теперь перемножим все три части и сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$(2^{-n} \cdot 5^{-n}) \cdot (2^{4n} \cdot 5^n) \cdot (2^{7n+7}) = (2^{-n} \cdot 2^{4n} \cdot 2^{7n+7}) \cdot (5^{-n} \cdot 5^n)$

4. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:
Для основания 2: $2^{-n+4n+7n+7} = 2^{10n+7}$.
Для основания 5: $5^{-n+n} = 5^0 = 1$.

5. Итоговое выражение:
$2^{10n+7} \cdot 1 = 2^{10n+7}$.

Ответ: $2^{10n+7}$

б) Чтобы представить произведение $0,0004^{-n} \cdot 125^{n+3} \cdot 100^{-n}$ в виде степени с основанием 5, выполним аналогичные преобразования.

1. Представим основания множителей в виде произведения степеней простых чисел.
Десятичную дробь 0,0004 представим в виде обыкновенной дроби: $0,0004 = \frac{4}{10000} = \frac{1}{2500}$. Разложим знаменатель на множители: $2500 = 25 \cdot 100 = 5^2 \cdot 10^2 = 5^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 5^2 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^2 \cdot 5^4$. Таким образом, $0,0004 = \frac{1}{2^2 \cdot 5^4} = 2^{-2} \cdot 5^{-4}$.
Число 125 является степенью пятерки: $125 = 5^3$.
Число 100 можно представить как $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.

2. Подставим полученные представления в исходное выражение:
$0,0004^{-n} = (2^{-2} \cdot 5^{-4})^{-n} = 2^{2n} \cdot 5^{4n}$
$125^{n+3} = (5^3)^{n+3} = 5^{3(n+3)} = 5^{3n+9}$
$100^{-n} = (2^2 \cdot 5^2)^{-n} = 2^{-2n} \cdot 5^{-2n}$

3. Перемножим все три части и сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$(2^{2n} \cdot 5^{4n}) \cdot (5^{3n+9}) \cdot (2^{-2n} \cdot 5^{-2n}) = (2^{2n} \cdot 2^{-2n}) \cdot (5^{4n} \cdot 5^{3n+9} \cdot 5^{-2n})$

4. Сложим показатели степеней для каждого основания:
Для основания 2: $2^{2n-2n} = 2^0 = 1$.
Для основания 5: $5^{4n+3n+9-2n} = 5^{5n+9}$.

5. Итоговое выражение:
$1 \cdot 5^{5n+9} = 5^{5n+9}$.

Ответ: $5^{5n+9}$