Номер 2.14, страница 18 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.14. Сравните значения выражений:

a) $7^{-2}$ и $(-7)^0$;

б) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$ и $\left(-\frac{2}{3}\right)^{-4}$;

в) $0,3^{-1}$ и $(-0,3)^{-2}$.

а) Сравним значения выражений $7^{-2}$ и $(-7)^0$.

Вычислим значение первого выражения, используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.

Вычислим значение второго выражения. Любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно единице ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$):

$(-7)^0 = 1$.

Теперь необходимо сравнить полученные значения: $\frac{1}{49}$ и $1$.

Так как знаменатель дроби $\frac{1}{49}$ больше ее числителя, эта дробь меньше единицы. То есть $\frac{1}{49} < 1$.

Следовательно, $7^{-2} < (-7)^0$.

Ответ: $7^{-2} < (-7)^0$.

б) Сравним значения выражений $(\frac{2}{3})^{-3}$ и $(-\frac{2}{3})^{-4}$.

Найдем значение первого выражения. Для этого воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$.

Теперь найдем значение второго выражения. Сначала избавимся от отрицательного показателя:

$(-\frac{2}{3})^{-4} = (-\frac{3}{2})^4$.

Поскольку отрицательное число возводится в четную степень (4), результат будет положительным:

$(-\frac{3}{2})^4 = (\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$.

Сравним полученные дроби $\frac{27}{8}$ и $\frac{81}{16}$. Для этого приведем первую дробь к знаменателю 16:

$\frac{27}{8} = \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{54}{16}$.

Так как $54 < 81$, то $\frac{54}{16} < \frac{81}{16}$.

Следовательно, $(\frac{2}{3})^{-3} < (-\frac{2}{3})^{-4}$.

Ответ: $(\frac{2}{3})^{-3} < (-\frac{2}{3})^{-4}$.

в) Сравним значения выражений $0,3^{-1}$ и $(-0,3)^{-2}$.

Преобразуем первое выражение, представив десятичную дробь в виде обыкновенной $0,3 = \frac{3}{10}$:

$0,3^{-1} = (\frac{3}{10})^{-1} = \frac{10}{3}$.

Преобразуем второе выражение, также представив $-0,3$ в виде дроби $-\frac{3}{10}$:

$(-0,3)^{-2} = (-\frac{3}{10})^{-2} = (-\frac{10}{3})^2$.

Так как степень четная (2), минус в основании исчезает:

$(-\frac{10}{3})^2 = \frac{10^2}{3^2} = \frac{100}{9}$.

Осталось сравнить дроби $\frac{10}{3}$ и $\frac{100}{9}$. Приведем дробь $\frac{10}{3}$ к знаменателю 9:

$\frac{10}{3} = \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{30}{9}$.

Так как $30 < 100$, то $\frac{30}{9} < \frac{100}{9}$.

Следовательно, $0,3^{-1} < (-0,3)^{-2}$.

Ответ: $0,3^{-1} < (-0,3)^{-2}$.