Номер 2.145, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.145. Найдите значение выражения НОК (18, 12) · НОД (18, 12).

Для решения данной задачи можно пойти двумя путями: вычислить НОК и НОД по отдельности и затем перемножить их, либо воспользоваться фундаментальным свойством, связывающим эти две величины.

Способ 1: Использование свойства НОК и НОД

Существует важное свойство для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$:

Произведение их Наименьшего Общего Кратого (НОК) и Наибольшего Общего Делителя (НОД) равно произведению самих этих чисел.

$НОК(a, b) \cdot НОД(a, b) = a \cdot b$

Применим это свойство к числам 18 и 12:

$НОК(18, 12) \cdot НОД(18, 12) = 18 \cdot 12$

Выполним умножение:

$18 \cdot 12 = 216$

Способ 2: Последовательное вычисление (для проверки)

1. Найдём Наибольший Общий Делитель (НОД).

Разложим числа 18 и 12 на простые множители:

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

НОД находится как произведение общих простых множителей, взятых в наименьшей степени:

$НОД(18, 12) = 2^1 \cdot 3^1 = 6$

2. Найдём Наименьшее Общее Кратное (НОК).

Используя те же разложения на множители, найдём НОК как произведение всех простых множителей (из обоих чисел), взятых в наибольшей степени:

$НОК(18, 12) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$

3. Вычислим итоговое выражение.

Теперь перемножим полученные значения НОК и НОД:

$НОК(18, 12) \cdot НОД(18, 12) = 36 \cdot 6 = 216$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 216.