вопросы, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Сколько членов может иметь многочлен, если его степень равна 1?

2. Верно ли, что члены многочлена стандартного вида являются одночленами стандартного вида?

1. Сколько членов может иметь многочлен, если его степень равна 1?

Степень многочлена — это наибольшая из степеней входящих в него одночленов. Если степень многочлена равна 1, это означает, что он должен содержать как минимум один член первой степени, и не должен содержать членов со степенью выше первой. Члены многочлена могут также иметь степень 0 (это свободные члены, то есть числа).

Рассмотрим возможные случаи:

• Минимальное количество членов: Многочлен должен иметь хотя бы один член, степень которого определяет степень всего многочлена. Следовательно, минимальное количество членов — один.
  Пример: $5x$. Это многочлен, состоящий из одного члена, и его степень равна 1.
• Максимальное количество членов: Количество членов зависит от количества переменных.
  • Если многочлен зависит от одной переменной (например, $x$), то его стандартный вид $ax + b$, где $a \ne 0$. В этом случае он может иметь либо один член (если $b=0$, например, $2x$), либо два члена (если $b \ne 0$, например, $2x + 3$).
  • Если многочлен зависит от нескольких переменных, то количество членов может быть больше. Мы можем иметь по одному члену первой степени для каждой переменной и один член нулевой степени (свободный член).
    Пример: Многочлен $2x + 3y - 4z + 10$ имеет степень 1, так как наибольшая степень его членов равна 1. При этом он состоит из четырех членов.

Поскольку количество переменных, от которых может зависеть многочлен, теоретически не ограничено, то и количество членов в многочлене первой степени также не ограничено. Он может иметь 1, 2, 3, 4 и так далее членов.

Ответ: Многочлен первой степени может иметь любое количество членов, начиная с одного.

2. Верно ли, что члены многочлена стандартного вида являются одночленами стандартного вида?

Да, это утверждение абсолютно верно и является частью определения многочлена стандартного вида.

Многочлен стандартного вида — это многочлен, который удовлетворяет двум условиям:

1. Каждый его член является одночленом стандартного вида.
2. Он не содержит подобных членов (все подобные члены приведены).

Напомним, что одночлен стандартного вида — это произведение числового коэффициента, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.

Пример:
Многочлен $P = 8x^2y - 3xy + 5$ является многочленом стандартного вида.
Его члены: $8x^2y$, $-3xy$ и $5$. Каждый из них — это одночлен стандартного вида.

Контрпример:
Многочлен $Q = 8x \cdot xy - 3xy + 5$ не является многочленом стандартного вида, потому что его первый член, $8x \cdot xy$, не является одночленом стандартного вида. Чтобы привести многочлен $Q$ к стандартному виду, нужно сначала привести его первый член к стандартному виду: $8x \cdot xy = 8x^2y$. После этого многочлен примет вид $8x^2y - 3xy + 5$, и теперь все его члены являются одночленами стандартного вида.

Ответ: Да, верно.