Номер 2.278, страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.278. Представьте в виде трехчлена квадрат двучлена:

а) $(a^2 - b)^2$;

б) $(n^2 + m^2)^2$;

в) $(x^3 - y^2)^2$;

г) $(p^4 + q^3)^2$;

д) $(10n^4 - 1)^2$;

е) $(3 - 2a^2)^2$;

ж) $(2k - c^2)^2$;

з) $(\frac{1}{6}x^2 + 3y^4)^2$.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности.

• Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) $(a^2 - b)^2$

Применяем формулу квадрата разности. В данном случае $a$ заменяется на $a^2$, а $b$ остается $b$.

$(a^2 - b)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot b + b^2 = a^{2 \cdot 2} - 2a^2b + b^2 = a^4 - 2a^2b + b^2$.

Ответ: $a^4 - 2a^2b + b^2$.

б) $(n^2 + m^2)^2$

Применяем формулу квадрата суммы, где в качестве $a$ выступает $n^2$, а в качестве $b$ - $m^2$.

$(n^2 + m^2)^2 = (n^2)^2 + 2 \cdot n^2 \cdot m^2 + (m^2)^2 = n^{2 \cdot 2} + 2n^2m^2 + m^{2 \cdot 2} = n^4 + 2n^2m^2 + m^4$.

Ответ: $n^4 + 2n^2m^2 + m^4$.

в) $(x^3 - y^2)^2$

Используем формулу квадрата разности, где $a = x^3$ и $b = y^2$.

$(x^3 - y^2)^2 = (x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot y^2 + (y^2)^2 = x^{3 \cdot 2} - 2x^3y^2 + y^{2 \cdot 2} = x^6 - 2x^3y^2 + y^4$.

Ответ: $x^6 - 2x^3y^2 + y^4$.

г) $(p^4 + q^3)^2$

Используем формулу квадрата суммы, где $a = p^4$ и $b = q^3$.

$(p^4 + q^3)^2 = (p^4)^2 + 2 \cdot p^4 \cdot q^3 + (q^3)^2 = p^{4 \cdot 2} + 2p^4q^3 + q^{3 \cdot 2} = p^8 + 2p^4q^3 + q^6$.

Ответ: $p^8 + 2p^4q^3 + q^6$.

д) $(10n^4 - 1)^2$

Используем формулу квадрата разности, где $a = 10n^4$ и $b = 1$.

$(10n^4 - 1)^2 = (10n^4)^2 - 2 \cdot 10n^4 \cdot 1 + 1^2 = 100n^8 - 20n^4 + 1$.

Ответ: $100n^8 - 20n^4 + 1$.

е) $(3 - 2a^2)^2$

Используем формулу квадрата разности, где $a = 3$ и $b = 2a^2$.

$(3 - 2a^2)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (2a^2) + (2a^2)^2 = 9 - 12a^2 + 4a^4$.

Ответ: $9 - 12a^2 + 4a^4$.

ж) $(2k - c^2)^2$

Используем формулу квадрата разности, где $a = 2k$ и $b = c^2$.

$(2k - c^2)^2 = (2k)^2 - 2 \cdot 2k \cdot c^2 + (c^2)^2 = 4k^2 - 4kc^2 + c^4$.

Ответ: $4k^2 - 4kc^2 + c^4$.

з) $(\frac{1}{6}x^2 + 3y^4)^2$

Используем формулу квадрата суммы, где $a = \frac{1}{6}x^2$ и $b = 3y^4$.

$(\frac{1}{6}x^2 + 3y^4)^2 = (\frac{1}{6}x^2)^2 + 2 \cdot (\frac{1}{6}x^2) \cdot (3y^4) + (3y^4)^2$

$= \frac{1}{36}x^4 + \frac{2 \cdot 1 \cdot 3}{6}x^2y^4 + 9y^8 = \frac{1}{36}x^4 + \frac{6}{6}x^2y^4 + 9y^8$.

Коэффициент среднего члена $\frac{6}{6}$ является неправильной дробью (числитель равен знаменателю). Выделим целую часть: $\frac{6}{6} = 1$.

Таким образом, выражение упрощается до: $\frac{1}{36}x^4 + 1 \cdot x^2y^4 + 9y^8$.

Ответ: $\frac{1}{36}x^4 + x^2y^4 + 9y^8$.