Номер 4.118, страница 287 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.118. Решите систему уравнений способом сложения, используя алгоритм:

а) $\begin{cases} x + 3y = 17, \\ 2y - x = -2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4x + 3y = -15, \\ 5x + 3y = -3. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:$$\begin{cases}x + 3y = 17 \\2y - x = -2\end{cases}$$

Для решения системы методом сложения необходимо, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях были противоположными числами. В данной системе у переменной $x$ коэффициенты $1$ и $-1$, что уже удовлетворяет этому условию.

Перепишем второе уравнение, поставив $x$ на первое место, для наглядности:$$\begin{cases}x + 3y = 17 \\-x + 2y = -2\end{cases}$$

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений:$$ (x + 3y) + (-x + 2y) = 17 + (-2) $$$$ x - x + 3y + 2y = 15 $$$$ 5y = 15 $$

Из полученного уравнения найдем значение $y$:$$ y = \frac{15}{5} $$$$ y = 3 $$

Подставим найденное значение $y = 3$ в первое исходное уравнение ($x + 3y = 17$) для нахождения $x$:$$ x + 3 \cdot 3 = 17 $$$$ x + 9 = 17 $$$$ x = 17 - 9 $$$$ x = 8 $$

Таким образом, решение системы: $x=8$, $y=3$.

Ответ: $x = 8$, $y = 3$.

б) Решим систему уравнений:$$\begin{cases}4x + 3y = -15 \\5x + 3y = -3\end{cases}$$

В этой системе коэффициенты при переменной $y$ одинаковы ($3$ и $3$). Чтобы исключить эту переменную, мы можем вычесть одно уравнение из другого. Вычтем первое уравнение из второго.

Выполним вычитание почленно:$$ (5x + 3y) - (4x + 3y) = -3 - (-15) $$$$ 5x + 3y - 4x - 3y = -3 + 15 $$$$ (5x - 4x) + (3y - 3y) = 12 $$$$ x = 12 $$

Теперь, когда мы нашли $x=12$, подставим это значение в первое исходное уравнение ($4x + 3y = -15$), чтобы найти $y$:$$ 4 \cdot 12 + 3y = -15 $$$$ 48 + 3y = -15 $$$$ 3y = -15 - 48 $$$$ 3y = -63 $$

Из полученного уравнения найдем значение $y$:$$ y = \frac{-63}{3} $$$$ y = -21 $$

Таким образом, решение системы: $x=12$, $y=-21$.

Ответ: $x = 12$, $y = -21$.