Номер 4.121, страница 288 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.121. Решите систему уравнений наиболее рациональным способом:

а) $\begin{cases} 0.1x + 0.2y = 0.3, \\ 0.4x + 0.5y = 0.9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0.6x - 0.2 = 19 - 3y, \\ 0.5y - \frac{5}{6} = 15\frac{2}{3} - 2x. \end{cases}$

Требуется решить системы уравнений наиболее рациональным способом.

а) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 0,1x + 0,2y = 0,3 \\ 0,4x + 0,5y = 0,9 \end{cases} $$

Наиболее рациональным первым шагом будет избавление от десятичных дробей. Для этого умножим оба уравнения системы на 10:

$$ \begin{cases} 10 \cdot (0,1x + 0,2y) = 10 \cdot 0,3 \\ 10 \cdot (0,4x + 0,5y) = 10 \cdot 0,9 \end{cases} $$

В результате получаем систему с целыми коэффициентами:

$$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 4x + 5y = 9 \end{cases} $$

Решим полученную систему методом алгебраического сложения (методом исключения). Умножим первое уравнение на -4, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$$ -4(x + 2y) = -4 \cdot 3 $$ $$ -4x - 8y = -12 $$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением исходной упрощенной системы ($4x + 5y = 9$):

$$ (-4x - 8y) + (4x + 5y) = -12 + 9 $$ $$ -3y = -3 $$ $$ y = 1 $$

Подставим найденное значение $y=1$ в первое упрощенное уравнение ($x + 2y = 3$), чтобы найти $x$:

$$ x + 2(1) = 3 $$ $$ x + 2 = 3 $$ $$ x = 3 - 2 $$ $$ x = 1 $$

Проверим решение, подставив $x=1$ и $y=1$ в исходные уравнения:

1) $0,1(1) + 0,2(1) = 0,1 + 0,2 = 0,3$ (верно)

2) $0,4(1) + 0,5(1) = 0,4 + 0,5 = 0,9$ (верно)

Ответ: $x=1, y=1$.

---

б) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 0,6x - 0,2 = 19 - 3y \\ 0,5y - \frac{5}{6} = 15\frac{2}{3} - 2x \end{cases} $$

Для рационального решения сначала преобразуем каждое уравнение, приведя его к стандартному виду $Ax + By = C$ и избавившись от дробей.

Первое уравнение:

$$ 0,6x - 0,2 = 19 - 3y $$

Перенесем слагаемое с $y$ в левую часть, а число - в правую:

$$ 0,6x + 3y = 19 + 0,2 $$ $$ 0,6x + 3y = 19,2 $$

Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$$ 6x + 30y = 192 $$

Все коэффициенты делятся на 6, разделим уравнение на 6 для упрощения:

$$ x + 5y = 32 $$

Второе уравнение:

$$ 0,5y - \frac{5}{6} = 15\frac{2}{3} - 2x $$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть, а число - в правую. Также преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$, $15\frac{2}{3} = \frac{15 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{47}{3}$.

$$ 2x + \frac{1}{2}y = \frac{47}{3} + \frac{5}{6} $$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:

$$ 2x + \frac{1}{2}y = \frac{47 \cdot 2}{6} + \frac{5}{6} = \frac{94}{6} + \frac{5}{6} = \frac{99}{6} $$

Сократим дробь в правой части на 3: $\frac{99}{6} = \frac{33}{2}$.

$$ 2x + \frac{1}{2}y = \frac{33}{2} $$

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

$$ 2(2x + \frac{1}{2}y) = 2 \cdot \frac{33}{2} $$ $$ 4x + y = 33 $$

Теперь мы имеем упрощенную систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + 5y = 32 \\ 4x + y = 33 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения легко выразить $y$:

$$ y = 33 - 4x $$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$ x + 5(33 - 4x) = 32 $$ $$ x + 165 - 20x = 32 $$ $$ -19x = 32 - 165 $$ $$ -19x = -133 $$ $$ x = \frac{-133}{-19} = 7 $$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=7$ в выражение для $y$:

$$ y = 33 - 4(7) = 33 - 28 = 5 $$

Проверим решение, подставив $x=7$ и $y=5$ в исходные уравнения:

1) $0,6(7) - 0,2 = 4,2 - 0,2 = 4$. Правая часть: $19 - 3(5) = 19 - 15 = 4$. (верно)

2) $0,5(5) - \frac{5}{6} = 2,5 - \frac{5}{6} = \frac{5}{2} - \frac{5}{6} = \frac{15}{6} - \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$. Правая часть: $15\frac{2}{3} - 2(7) = \frac{47}{3} - 14 = \frac{47}{3} - \frac{42}{3} = \frac{5}{3}$. (верно)

Ответ: $x=7, y=5$.