Номер 4.111, страница 286 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.111*. Найдите, при каких значениях $a$ и $b$ пара чисел $(2; -1)$ является решением системы уравнений

$\begin{cases} ax + by = 36, \\ ax - by = 8. \end{cases}$

По условию задачи, нам нужно найти значения параметров $a$ и $b$, при которых пара чисел $(2; -1)$ является решением системы уравнений:

Если пара чисел $(2; -1)$ является решением, это означает, что при подстановке в уравнения системы значений $x=2$ и $y=-1$, мы получим верные числовые равенства.

Выполним подстановку $x=2$ и $y=-1$ в оба уравнения:

После упрощения мы получим новую систему линейных уравнений, но уже с неизвестными $a$ и $b$:

Теперь нам нужно решить эту систему. Для этого можно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $b$ являются противоположными числами ($-1$ и $1$).

Значение a
Сложим левые и правые части уравнений (1) и (2): $$ (2a - b) + (2a + b) = 36 + 8 $$ $$ 4a = 44 $$ Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $a$: $$ a = \frac{44}{4} $$ $$ a = 11 $$ Ответ: 11

Значение b
Теперь, зная значение $a$, подставим его в любое из уравнений системы. Например, подставим $a=11$ в уравнение (2): $$ 2a + b = 8 $$ $$ 2(11) + b = 8 $$ $$ 22 + b = 8 $$ Выразим $b$: $$ b = 8 - 22 $$ $$ b = -14 $$ Ответ: -14