Номер 4.109, страница 286 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.109. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых $3x - y = 2$ и $2y - x = 1$ и параллельной графику прямой $y = 2x + 13$.

Чтобы найти уравнение искомой прямой, необходимо выполнить два действия: найти точку пересечения двух заданных прямых, а затем использовать эту точку и информацию о параллельности для нахождения уравнения новой прямой.

Для нахождения координат точки пересечения необходимо решить систему двух линейных уравнений:

Из первого уравнения выразим переменную $y$:

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

Подставим найденное значение $x=1$ в выражение для $y$:

Таким образом, прямые пересекаются в точке с координатами $(1; 1)$.

Ответ: Точка пересечения прямых имеет координаты $(1; 1)$.

Общий вид уравнения прямой — это $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (наклон), а $b$ — свободный член (точка пересечения с осью Y).

По условию, искомая прямая должна быть параллельна прямой $y = 2x + 13$. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент для прямой $y = 2x + 13$ равен $k=2$.

Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой также равен 2. Ее уравнение будет иметь вид:

Мы знаем, что эта прямая проходит через точку $(1; 1)$. Подставим координаты этой точки в уравнение, чтобы найти значение $b$:

Теперь, зная значения $k=2$ и $b=-1$, мы можем записать окончательное уравнение искомой прямой.

Ответ: Уравнение искомой прямой: $y = 2x - 1$.