Номер 2, страница 139 - гдз по физике 7 класс учебник Исаченкова, Громыко

2. Определите значения полезной и полной работы, совершенной за некоторое время действия подъемного крана с КПД $\eta = 70\,\%$, если значение бесполезной работы за это время составляет $A = 1,5\,\text{МДж}$.

Дано:

КПД подъемного крана $\eta = 70 \%$
Бесполезная работа $A_{бесполезн} = 1.5 \text{ МДж}$

Перевод в систему СИ и в безразмерные величины:

$\eta = 70 \% = 0.7$
$A_{бесполезн} = 1.5 \text{ МДж} = 1.5 \cdot 10^6 \text{ Дж}$

Найти:

Полезную работу $A_{полезн}$
Полную работу $A_{полн}$

Решение:

Полная (или затраченная) работа $A_{полн}$ является суммой полезной работы $A_{полезн}$ и бесполезной работы $A_{бесполезн}$ (работы, затраченной на преодоление сил трения, нагрев и т.д.):
$A_{полн} = A_{полезн} + A_{бесполезн}$

Коэффициент полезного действия (КПД) по определению равен отношению полезной работы к полной работе:
$\eta = \frac{A_{полезн}}{A_{полн}}$

Мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($A_{полезн}$ и $A_{полн}$). Выразим $A_{полезн}$ из первого уравнения:
$A_{полезн} = A_{полн} - A_{бесполезн}$

Теперь подставим это выражение в формулу для КПД:
$\eta = \frac{A_{полн} - A_{бесполезн}}{A_{полн}} = 1 - \frac{A_{бесполезн}}{A_{полн}}$

Из полученного соотношения выразим полную работу $A_{полн}$:
$\frac{A_{бесполезн}}{A_{полн}} = 1 - \eta$
$A_{полн} = \frac{A_{бесполезн}}{1 - \eta}$

Подставим числовые значения из условия задачи:
$A_{полн} = \frac{1.5 \cdot 10^6 \text{ Дж}}{1 - 0.7} = \frac{1.5 \cdot 10^6 \text{ Дж}}{0.3} = 5 \cdot 10^6 \text{ Дж}$
Так как $1 \text{ МДж} = 10^6 \text{ Дж}$, то $A_{полн} = 5 \text{ МДж}$.

Зная полную и бесполезную работу, найдем полезную работу:
$A_{полезн} = A_{полн} - A_{бесполезн} = 5 \text{ МДж} - 1.5 \text{ МДж} = 3.5 \text{ МДж}$

Для проверки можно также найти полезную работу через формулу КПД:
$A_{полезн} = \eta \cdot A_{полн} = 0.7 \cdot 5 \text{ МДж} = 3.5 \text{ МДж}$.
Результаты совпадают, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: значение полезной работы составляет $3.5 \text{ МДж}$, значение полной работы – $5 \text{ МДж}$.