Номер 1, страница 12 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Задания к § 1

Перенесите в тетрадь точки $A, B, C$ и $D$, сохранив их расположение (рис. 13), и выполните задания 1—6.

1. Определите, пересекаются ли:

а) отрезки $BC$ и $AD$;

б) отрезки $AC$ и $BD$;

в) прямые $BC$ и $AD$;

г) лучи $CB$ и $AD$.

Рис. 13

Для решения задачи введем декартову систему координат. Примем сторону одной клетки за единицу длины. Расположим начало координат так, чтобы точки имели следующие координаты: $A(1, 2)$, $B(3, 7)$, $C(6, 5)$ и $D(5, 2)$.

а) отрезки BC и AD

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками.
Отрезок $AD$ соединяет точки $A(1, 2)$ и $D(5, 2)$. Так как у обеих точек координата $y$ одинакова и равна 2, отрезок $AD$ лежит на горизонтальной прямой $y=2$. Координаты $x$ для точек этого отрезка находятся в диапазоне $[1, 5]$.
Отрезок $BC$ соединяет точки $B(3, 7)$ и $C(6, 5)$. Все точки этого отрезка имеют координаты $y$ в диапазоне $[5, 7]$.
Поскольку все $y$-координаты отрезка $AD$ равны 2, а все $y$-координаты отрезка $BC$ находятся в промежутке от 5 до 7, эти отрезки не могут иметь общих точек, то есть не пересекаются.
Ответ: не пересекаются.

б) отрезки AC и BD

Отрезок $AC$ соединяет точки $A(1, 2)$ и $C(6, 5)$. Отрезок $BD$ соединяет точки $B(3, 7)$ и $D(5, 2)$.
Визуально, проведя отрезки на рисунке, можно увидеть, что они пересекаются.
Проверим это аналитически. Найдем уравнения прямых, содержащих эти отрезки.
Уравнение прямой $AC$: $\frac{x - x_A}{x_C - x_A} = \frac{y - y_A}{y_C - y_A} \Rightarrow \frac{x - 1}{6 - 1} = \frac{y - 2}{5 - 2} \Rightarrow \frac{x - 1}{5} = \frac{y - 2}{3} \Rightarrow 3(x-1) = 5(y-2) \Rightarrow 3x - 5y + 7 = 0$.
Уравнение прямой $BD$: $\frac{x - x_B}{x_D - x_B} = \frac{y - y_B}{y_D - y_B} \Rightarrow \frac{x - 3}{5 - 3} = \frac{y - 7}{2 - 7} \Rightarrow \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 7}{-5} \Rightarrow -5(x-3) = 2(y-7) \Rightarrow 5x + 2y - 29 = 0$.
Найдем точку пересечения этих прямых, решив систему уравнений:
$\begin{cases} 3x - 5y = -7 \\ 5x + 2y = 29 \end{cases}$
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5:
$\begin{cases} 6x - 10y = -14 \\ 25x + 10y = 145 \end{cases}$
Сложим уравнения: $31x = 131 \Rightarrow x = \frac{131}{31}$.
Подставим $x$ в уравнение $5x + 2y = 29$: $5(\frac{131}{31}) + 2y = 29 \Rightarrow \frac{655}{31} + 2y = \frac{899}{31} \Rightarrow 2y = \frac{899-655}{31} = \frac{244}{31} \Rightarrow y = \frac{122}{31}$.
Точка пересечения прямых — $(\frac{131}{31}, \frac{122}{31})$, что примерно равно $(4.23, 3.94)$.
Теперь нужно проверить, принадлежит ли эта точка обоим отрезкам.
Для отрезка $AC$ координата $x$ должна быть в диапазоне $[1, 6]$, а $y$ в $[2, 5]$. Так как $1 < \frac{131}{31} < 6$ и $2 < \frac{122}{31} < 5$, точка принадлежит отрезку $AC$.
Для отрезка $BD$ координата $x$ должна быть в диапазоне $[3, 5]$, а $y$ в $[2, 7]$. Так как $3 < \frac{131}{31} < 5$ и $2 < \frac{122}{31} < 7$, точка принадлежит отрезку $BD$.
Так как точка пересечения прямых принадлежит обоим отрезкам, отрезки пересекаются.
Ответ: пересекаются.

в) прямые BC и AD

Прямая — это линия, не имеющая ни начала, ни конца.
Прямая $AD$ проходит через точки $A(1, 2)$ и $D(5, 2)$. Это горизонтальная прямая, ее уравнение $y=2$.
Прямая $BC$ проходит через точки $B(3, 7)$ и $C(6, 5)$. Найдем ее уравнение. Угловой коэффициент $k = \frac{5-7}{6-3} = -\frac{2}{3}$.
Уравнение прямой: $y - y_B = k(x - x_B) \Rightarrow y - 7 = -\frac{2}{3}(x - 3) \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x + 2 + 7 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x + 9$.
Чтобы найти точку пересечения, приравняем $y$: $2 = -\frac{2}{3}x + 9 \Rightarrow -7 = -\frac{2}{3}x \Rightarrow x = \frac{21}{2} = 10.5$.
Точка пересечения прямых — $(10.5, 2)$. Так как точка пересечения существует, прямые пересекаются.
Ответ: пересекаются.

г) лучи CB и AD

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца.
Луч $AD$ начинается в точке $A(1, 2)$ и проходит через точку $D(5, 2)$. Это часть прямой $y=2$, для которой $x \ge 1$.
Луч $CB$ начинается в точке $C(6, 5)$ и проходит через точку $B(3, 7)$. Он принадлежит прямой $y = -\frac{2}{3}x + 9$. Так как луч идет от $C$ к $B$, координата $x$ уменьшается от 6, то есть для этого луча $x \le 6$.
В пункте (в) мы нашли, что содержащие эти лучи прямые пересекаются в точке $(10.5, 2)$.
Проверим, принадлежит ли эта точка обоим лучам.
Для луча $AD$: $x = 10.5 \ge 1$. Условие выполняется, точка принадлежит лучу $AD$.
Для луча $CB$: $x = 10.5 \le 6$. Условие не выполняется.
Следовательно, точка пересечения прямых не лежит на луче $CB$. Значит, лучи $CB$ и $AD$ не пересекаются.
Ответ: не пересекаются.