Номер 6, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

6. Проведите отрезок $AB$ и подсчитайте общее число отрезков с концами в точках $A, B, C, D \text{ и } K$.

Для решения этой задачи необходимо найти количество всех возможных отрезков, которые можно провести между пятью точками: A, B, C, D и K. Отрезок определяется парой точек, при этом порядок точек не важен (отрезок AB — это тот же самый отрезок, что и BA).

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Полное перечисление

Давайте систематически перечислим все уникальные отрезки, соединяя каждую точку со всеми последующими в списке, чтобы избежать повторений.

• Из точки A можно провести отрезки к остальным четырем точкам: AB, AC, AD, AK. (Всего 4 отрезка)
• Из точки B можно провести отрезки к точкам C, D, K. Отрезок BA уже учтен как AB: BC, BD, BK. (Всего 3 новых отрезка)
• Из точки C можно провести отрезки к точкам D и K. Отрезки CA и CB уже учтены: CD, CK. (Всего 2 новых отрезка)
• Из точки D можно провести один оставшийся отрезок к точке K. Отрезки DA, DB, DC уже учтены: DK. (Всего 1 новый отрезок)

Все возможные отрезки с концом в точке K уже были перечислены на предыдущих шагах.

Теперь сложим количество отрезков, полученное на каждом шаге, чтобы найти общее число:

$4 + 3 + 2 + 1 = 10$

Способ 2: Использование комбинаторики

Задача сводится к тому, чтобы найти, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 5 имеющихся. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

В нашем случае, общее число точек $n = 5$, а для построения одного отрезка нужно выбрать $k = 2$ точки.

Подставим значения в формулу:

$C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 10