Реальная геометрия, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Реальная геометрия

На практике при отсутствии циркуля окружность строят при помощи веревки с привязанными к ее концам колышками. Закрепив один колышек и натянув веревку, другим колышком прочерчивают окружность.

Задача.

Необходимо разбить клумбу в форме равностороннего треугольника со стороной 10 м, в центре которой будет расположена круглая клумба диаметром 4 м (рис. 321). У вас есть веревка длиной 15 м, метровая линейка и несколько колышков.

Рис. 321

Составьте алгоритм решения этой практической задачи, сделайте обоснование. При этом используйте тот факт, что центр равностороннего треугольника находится в точке пересечения его медиан (высот, биссектрис).

Алгоритм решения

1. Построение равностороннего треугольника. С помощью метровой линейки отмерьте на земле отрезок $AB$ длиной 10 м и вбейте в его концы, точки A и B, по колышку. Это будет первая сторона клумбы.
2. Возьмите веревку. Отмерьте на ней 10 м. Закрепите один конец веревки у колышка A и, натянув ее, прочертите другим концом дугу на земле в предполагаемом месте третьей вершины.
3. Перенесите конец веревки к колышку B и, не меняя отмерянной длины в 10 м, прочертите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую.
4. В точку пересечения дуг, C, вбейте третий колышек. Внешний контур клумбы в виде равностороннего треугольника $ABC$ готов.
5. Нахождение центра треугольника. С помощью линейки найдите середину M стороны $AB$ (на расстоянии 5 м от A) и отметьте ее временным колышком.
6. Аналогично найдите середину N стороны $BC$ (на расстоянии 5 м от B) и также отметьте ее колышком.
7. Натяните веревку между колышком в вершине C и колышком M в середине противоположной стороны. Это медиана $CM$.
8. Натяните другую веревку (или перенесите первую) между вершиной A и серединой N. Это медиана $AN$.
9. Точка O, в которой пересеклись веревки (медианы), является центром треугольника. Вбейте в эту точку центральный колышек, а временные колышки M и N уберите.
10. Построение круглой клумбы. Отмерьте кусок веревки длиной 2 м (это радиус, так как по условию диаметр равен 4 м).
11. Привяжите один конец этой веревки к центральному колышку O, а к другому концу привяжите небольшой колышек для разметки.
12. Держа веревку постоянно натянутой, обойдите вокруг центрального колышка O, прочерчивая на земле окружность. Эта линия будет границей внутренней круглой клумбы.

Ответ: Представленный пошаговый алгоритм, включающий построение треугольника, нахождение его центра через пересечение медиан и разметку круга с помощью веревки-радиуса, позволяет точно создать клумбу требуемой формы и размеров.

Обоснование

1. Построение треугольника $ABC$ является корректным, так как оно основано на построении фигуры по трем сторонам. Мы задаем длину стороны $AB = 10$ м. Затем находим вершину $C$ как точку, равноудаленную от вершин A и B на то же расстояние в 10 м. Таким образом, все стороны треугольника равны: $AB = BC = AC = 10$ м, следовательно, он является равносторонним.
2. Нахождение центра треугольника $O$ как точки пересечения медиан ($CM$ и $AN$) основано на свойстве равностороннего треугольника, упомянутом в условии задачи. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. В равностороннем треугольнике точка пересечения медиан (центроид) совпадает с центром вписанной и описанной окружностей, то есть является его геометрическим центром.
3. Построение окружности с помощью веревки и колышка является практической реализацией ее математического определения как геометрического места точек, равноудаленных от центра. Веревка длиной 2 м, закрепленная в центре $O$, играет роль радиуса. Это гарантирует, что каждая точка на прочерченной линии находится на расстоянии $r=2$ м от центра, а диаметр окружности составляет $d = 2r = 4$ м, что соответствует условию.

Ответ: Алгоритм является верным, так как он последовательно применяет точные геометрические построения: построение равностороннего треугольника по трем сторонам, нахождение его центра как точки пересечения медиан и построение окружности по ее определению с заданными центром и радиусом.