Номер 281, страница 174 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

281*. Дан отрезок $AB$. Найдите геометрическое место вершин прямоугольных треугольников с гипотенузой $AB$.

Пусть $C$ - вершина прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является отрезок $AB$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, то есть $\angle ACB = 90^\circ$.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию. В данной задаче нам нужно найти множество всех точек $C$, для которых треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Для нахождения этого множества докажем два взаимно обратных утверждения.

1. Каждая вершина $C$ прямого угла прямоугольного треугольника с гипотенузой $AB$ лежит на окружности, построенной на $AB$ как на диаметре.
Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$. Проведем медиану $CM$. Согласно свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом, $CM = \frac{1}{2}AB$.
Поскольку $M$ является серединой отрезка $AB$, то $AM = MB = \frac{1}{2}AB$.
Отсюда следует, что $CM = AM = MB$. Равенство $CM = \frac{1}{2}AB$ означает, что точка $C$ удалена от точки $M$ на расстояние, равное радиусу окружности с диаметром $AB$. По определению, все такие точки лежат на окружности с центром в точке $M$ (середине $AB$) и диаметром $AB$.

2. Каждая точка $C$ окружности, построенной на $AB$ как на диаметре (кроме самих точек $A$ и $B$), является вершиной прямоугольного треугольника с гипотенузой $AB$.
Возьмем произвольную точку $C$ на окружности, диаметром которой является отрезок $AB$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Угол $\angle ACB$ является вписанным углом этой окружности, и он опирается на диаметр $AB$. По теореме о вписанном угле, угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой. Следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$.
Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным, а отрезок $AB$ — его гипотенузой.

Следует учесть, что если точка $C$ совпадает с точкой $A$ или $B$, то три точки $A, B, C$ лежат на одной прямой и не образуют треугольника. Поэтому концы отрезка $AB$, точки $A$ и $B$, необходимо исключить из искомого геометрического места.

Таким образом, искомое геометрическое место точек — это окружность с диаметром $AB$, за исключением точек $A$ и $B$.

Ответ: Окружность, построенная на отрезке $AB$ как на диаметре, без точек $A$ и $B$.